Álgebra Exemplos

$x = y^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y^{2} = x$ .

$y^{2} = x$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

Etapa 4

Alterne as variáveis. Crie uma equação para cada expressão.

$x = \sqrt{y}, x = - \sqrt{y}$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\sqrt{y} = x$ .

$\sqrt{y} = x$

Etapa 5.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y}}^{2} = x^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique.

$y = x^{2}$

Etapa 6

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Etapa 7

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

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Etapa 7.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ e $f^{- 1} (x) = x^{2}$ e os compare.

Etapa 7.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

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Etapa 7.2.1

Encontre o intervalo de $\sqrt{x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 7.2.2

Encontre o intervalo de $- \sqrt{x}$ .

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Etapa 7.2.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0]$

Etapa 7.2.3

Encontre a união de $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

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Etapa 7.2.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 7.3

Encontre o domínio de $\sqrt{x}$ .

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Etapa 7.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 7.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 7.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = x^{2}$ é o intervalo de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = x^{2}$ é o domínio de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Etapa 8