Álgebra Exemplos

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Etapa 1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1^{\frac{2 - x}{x}}}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Etapa 2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Etapa 3

Mova $4^{\frac{2 - x}{x}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Etapa 4

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 4^{3 \cdot 2}$

Etapa 5

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$- \frac{2 - x}{x} > 3 \cdot 2$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{2 - x}{x} > 6$

Etapa 6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da desigualdade.

$- \frac{2 - x}{x} - 6 > 0$

Etapa 6.3

Simplifique $- \frac{2 - x}{x} - 6$ .

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Etapa 6.3.1

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} - 6 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Etapa 6.3.2

Combine $- 6$ e $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} + \frac{- 6 x}{x} > 0$

Etapa 6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (2 - x) - 6 x}{x} > 0$

Etapa 6.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Etapa 6.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Etapa 6.3.4.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 6.3.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 + 1 x - 6 x}{x} > 0$

Etapa 6.3.4.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- 2 + x - 6 x}{x} > 0$

Etapa 6.3.4.4

Subtraia $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 - 5 x}{x} > 0$

Etapa 6.3.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) - 5 x}{x} > 0$

Etapa 6.3.6

Fatore $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{- 1 (2) - (5 x)}{x} > 0$

Etapa 6.3.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (5 x)$ .

$\frac{- 1 (2 + 5 x)}{x} > 0$

Etapa 6.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 + 5 x}{x} > 0$

Etapa 6.4

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$2 + 5 x = 0$

Etapa 6.5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 2$

Etapa 6.6

Divida cada termo em $5 x = - 2$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 6.6.1

Divida cada termo em $5 x = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 6.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.6.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 6.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 6.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Etapa 6.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{5}$

Etapa 6.7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - \frac{2}{5}$

Etapa 6.8

Consolide as soluções.

$x = 0, - \frac{2}{5}$

Etapa 7

Encontre o domínio de $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} - 4096$ .

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{2 - x}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

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Etapa 7.3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4^{\frac{2 - x}{x}}) = \ln (0)$

Etapa 7.3.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 7.3.3

Não há uma solução para $4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 7.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$x > 0$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{2}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{2}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 3)}{- 3}} > 64^{2}$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $10.07936839$ não é maior do que o lado direito $4096$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{2}{5} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{2}{5} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.2$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 0.2$ na desigualdade original.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 0.2)}{- 0.2}} > 64^{2}$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $4194304$ é maior do que o lado direito $4096$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (2)}{2}} > 64^{2}$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $1$ não é maior do que o lado direito $4096$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{2}{5}$ Falso

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{2}{5}$ Falso

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Notação de intervalo:

$(- \frac{2}{5}, 0)$

Etapa 12