Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{2 x + 2}{x^{3} + x^{2}}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{2 x + 2}{x^{3} + x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} + x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$x^{2} x + x^{2} = 0$

Etapa 2.1.2

Multiplique por $1$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot 1 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0, - 1}$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y > 0}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty), {x | x \neq 0, - 1}$

Intervalo: $(0, \infty), {y | y > 0}$

Etapa 6