Álgebra Exemplos

$\log_{2} (4 x - 5) + \log_{2} (3 x - 1) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((4 x - 5) (3 x - 1)) = 0$

Etapa 1.2

Expanda $(4 x - 5) (3 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (4 x (3 x - 1) - 5 (3 x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (4 x (3 x) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (4 x (3 x) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log_{2} (4 \cdot (3 x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\log_{2} (4 \cdot (3 (x \cdot x)) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{2} (4 \cdot (3 x^{2}) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$\log_{2} (12 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\log_{2} (12 x^{2} - 4 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$\log_{2} (12 x^{2} - 4 x - 15 x - 5 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\log_{2} (12 x^{2} - 4 x - 15 x + 5) = 0$

Etapa 1.3.2

Subtraia $15 x$ de $- 4 x$ .

$\log_{2} (12 x^{2} - 19 x + 5) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{2} (12 x^{2} - 19 x + 5) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 12 x^{2} - 19 x + 5$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $12 x^{2} - 19 x + 5 = 2^{0}$ .

$12 x^{2} - 19 x + 5 = 2^{0}$

Etapa 3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$12 x^{2} - 19 x + 5 = 1$

Etapa 3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$12 x^{2} - 19 x + 5 - 1 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $1$ de $5$ .

$12 x^{2} - 19 x + 4 = 0$

Etapa 3.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 12 \cdot 4 = 48$ e cuja soma é $b = - 19$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $- 19$ de $- 19 x$ .

$12 x^{2} - 19 x + 4 = 0$

Etapa 3.5.1.2

Reescreva $- 19$ como $- 3$ mais $- 16$

$12 x^{2} + (- 3 - 16) x + 4 = 0$

Etapa 3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x^{2} - 3 x - 16 x + 4 = 0$

Etapa 3.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(12 x^{2} - 3 x) - 16 x + 4 = 0$

Etapa 3.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Etapa 3.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (3 x - 4) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Etapa 3.7

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 3.7.2

Resolva $4 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 3.7.2.2

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.7.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 3.8

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Etapa 3.8.2

Resolva $3 x - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.8.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 4$

Etapa 3.8.2.2

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.8.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 3.8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 3.8.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x - 1) (3 x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{4}, \frac{4}{3}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{2} (4 x - 5) + \log_{2} (3 x - 1) = 0$ verdadeira.

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{4}{3}$

Forma decimal:

$x = 1.\overline{3}$

Forma de número misto:

$x = 1 \frac{1}{3}$