Álgebra Exemplos

$x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$x^{6} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Etapa 2

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Etapa 3

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} + 2^{3} + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Etapa 4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x^{2}$ e $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Etapa 5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Etapa 6

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{4} + 12 x^{2}$ .

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Etapa 6.1

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{4}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 12 x^{2}$

Etapa 6.2

Fatore $6 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$

Etapa 6.3

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$

Etapa 7

Fatore $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x^{2} + 2$ de $6 x^{2} (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$

Etapa 7.2

Fatore $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4 + 6 x^{2})$

Etapa 8

Some $- 2 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Etapa 9

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4)$

Etapa 10

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 4)$

Etapa 11

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 11.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 2^{2})$

Etapa 11.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Etapa 11.3

Reescreva o polinômio.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

Etapa 11.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) {(u + 2)}^{2}$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}$