Álgebra Exemplos

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = 1$

Etapa 1

Reescreva $\tan^{2} (x) - \sec (x)$ como a diferença dos quadrados.

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2}$

Etapa 2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan (x)$ e $b = \sqrt{\sec (x)}$ .

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$

Etapa 3

Resolva $\sqrt{\sec (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Expanda $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.1

Combine os termos opostos em $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\tan (x) (- \sqrt{\sec (x)})$ e $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2.1.2

Some $- \sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ e $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2.1.3

Some $\tan (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.2.1

Multiplique $\tan (x) \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.2.1.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2.2.1.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\tan^{2} (x) - \sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)} = 1$

Etapa 3.1.1.2.2.3

Multiplique $\sqrt{\sec (x)}$ por $\sqrt{\sec (x)}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.2.3.1

Mova $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - (\sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Etapa 3.1.1.2.2.3.2

Multiplique $\sqrt{\sec (x)}$ por $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1$

Etapa 3.2

Subtraia $\tan^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ por $- 1$ .

$\frac{- {\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2

Divida ${\sqrt{\sec (x)}}^{2}$ por $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Divida $1$ por $- 1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{\tan^{2} (x)}{1}$

Etapa 3.3.3.1.3

Divida $\tan^{2} (x)$ por $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \tan^{2} (x)$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1^{2} + \tan^{2} (x)}$

Etapa 3.5.1.2

Reordene $- 1^{2}$ e $\tan^{2} (x)$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{\tan^{2} (x) - 1^{2}}$

Etapa 3.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan (x)$ e $b = 1$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}, - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Etapa 4

Resolva $x$ em $\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sec (x)}$ como ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sec^{1} (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Reescreva ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ como $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ como ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 4.2.3.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.2.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.2.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Etapa 4.2.3.1.1.5

Simplifique.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Etapa 4.2.3.1.2

Expanda $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Etapa 4.2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.3.1.1

Multiplique $\tan (x) \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.3.1.1.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.1.1.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.1.3

Reescreva $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.1.4

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.2

Some $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Etapa 4.2.3.1.3.3

Some $\tan^{2} (x)$ e $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $\tan^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Etapa 4.3.2

Substitua $- \tan^{2} (x)$ por $- (\sec^{2} (x) - 1)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Etapa 4.3.4

Reordene o polinômio.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Etapa 4.3.5

Substitua $u$ por $\sec (x)$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Etapa 4.3.6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Etapa 4.3.7

Some $1$ e $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Etapa 4.3.8

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + u + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Etapa 4.3.8.1.2

Fatore $- 1$ de $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Etapa 4.3.8.1.3

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 4.3.8.1.4

Fatore $- 1$ de $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 4.3.8.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Etapa 4.3.8.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.2.1

Fatore $u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 4.3.8.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Etapa 4.3.8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Etapa 4.3.9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 4.3.10

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.10.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 4.3.10.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 4.3.11

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 4.3.11.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 4.3.12

A solução final são todos os valores que tornam $- (u - 2) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, - 1$

Etapa 4.3.13

Substitua $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Etapa 4.3.14

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Etapa 4.3.15

Resolva $x$ em $\sec (x) = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (2)$

Etapa 4.3.15.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.2.1

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 4.3.15.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 4.3.15.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 4.3.15.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 4.3.15.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 4.3.15.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 4.3.15.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 4.3.15.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.3.15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.3.15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.3.15.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.3.15.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.3.16

Resolva $x$ em $\sec (x) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.16.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- 1)$

Etapa 4.3.16.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.16.2.1

O valor exato de $arcsec (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 4.3.16.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 4.3.16.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 4.3.16.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.16.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.3.16.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.3.16.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.3.16.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.3.16.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.3.17

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.3.18

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Resolva $x$ em $\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sec (x)}$ como ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Etapa 5.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sec^{1} (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique.

$\sec (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique ${(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Simplifique cancelando o expoente com radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

$\sec (x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sec (x) = 1 {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Multiplique ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ por $1$ .

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Reescreva ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ como $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ como ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 5.2.3.1.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.1.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 5.2.3.1.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 5.2.3.1.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Etapa 5.2.3.1.1.3.5

Simplifique.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Etapa 5.2.3.1.2

Expanda $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.1.1

Multiplique $\tan (x) \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.1.1.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.1.1.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.1.3

Reescreva $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.1.4

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Some $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Etapa 5.2.3.1.3.3

Some $\tan^{2} (x)$ e $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Etapa 5.3

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $\tan^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Etapa 5.3.2

Substitua $- \tan^{2} (x)$ por $- (\sec^{2} (x) - 1)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Etapa 5.3.4

Reordene o polinômio.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Etapa 5.3.5

Substitua $u$ por $\sec (x)$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Etapa 5.3.6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Etapa 5.3.7

Some $1$ e $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Etapa 5.3.8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.3.8.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + u + 2$ .

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Etapa 5.3.8.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Etapa 5.3.8.1.2

Fatore $- 1$ de $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Etapa 5.3.8.1.3

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 5.3.8.1.4

Fatore $- 1$ de $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 5.3.8.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Etapa 5.3.8.2

Fatore.

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Etapa 5.3.8.2.1

Fatore $u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 5.3.8.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 5.3.8.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Etapa 5.3.8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Etapa 5.3.9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 5.3.10

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.3.10.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 5.3.10.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 5.3.11

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.3.11.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 5.3.11.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 5.3.12

A solução final são todos os valores que tornam $- (u - 2) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, - 1$

Etapa 5.3.13

Substitua $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Etapa 5.3.14

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Etapa 5.3.15

Resolva $x$ em $\sec (x) = 2$ .

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Etapa 5.3.15.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (2)$

Etapa 5.3.15.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.15.2.1

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 5.3.15.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 5.3.15.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 5.3.15.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.3.15.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.3.15.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.3.15.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.3.15.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.15.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 5.3.15.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 5.3.15.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 5.3.15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.3.15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.3.15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.3.15.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.3.15.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.16

Resolva $x$ em $\sec (x) = - 1$ .

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Etapa 5.3.16.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- 1)$

Etapa 5.3.16.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.16.2.1

O valor exato de $arcsec (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 5.3.16.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 5.3.16.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 5.3.16.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.16.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.3.16.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.3.16.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.3.16.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.3.16.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.17

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.18

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$ verdadeira.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$