Álgebra Exemplos

$\sqrt{x^{2} - 4} \leq 3 - x$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} - 4)}^{1} \leq {(3 - x)}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} - 4 \leq {(3 - x)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique ${(3 - x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(3 - x)}^{2}$ como $(3 - x) (3 - x)$ .

$x^{2} - 4 \leq (3 - x) (3 - x)$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(3 - x) (3 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 (3 - x) - x (3 - x)$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - x (- x)$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Etapa 2.3.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Etapa 2.3.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

Etapa 2.3.1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 6 x + x^{2}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$9 - 6 x + x^{2} \geq x^{2} - 4$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$9 - 6 x + x^{2} - x^{2} \geq - 4$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $9 - 6 x + x^{2} - x^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$9 - 6 x + 0 \geq - 4$

Etapa 3.2.2.2

Some $9 - 6 x$ e $0$ .

$9 - 6 x \geq - 4$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $9$ dos dois lados da desigualdade.

$- 6 x \geq - 4 - 9$

Etapa 3.3.2

Subtraia $9$ de $- 4$ .

$- 6 x \geq - 13$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $- 6 x \geq - 13$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $- 6 x \geq - 13$ por $- 6$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Etapa 3.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 13}{- 6}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x \leq \frac{13}{6}$

Etapa 4

Encontre o domínio de $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 3 + x$ .

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Etapa 4.1

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.2.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 4.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 4.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Etapa 4.2.6.1.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Etapa 4.2.6.2.3

O lado esquerdo $- 4$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.2.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Etapa 4.2.6.3.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 4.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 2$ ou $x \geq 2$

Etapa 4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < \frac{13}{6}$

$x > \frac{13}{6}$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 4} \leq 3 - (- 4)$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo $3.46410161$ é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4} \leq 3 - (0)$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < \frac{13}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < \frac{13}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.08$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $2.08$ na desigualdade original.

$\sqrt{{(2.08)}^{2} - 4} \leq 3 - (2.08)$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $0.57131427$ é menor do que o lado direito $0.92$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{13}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{13}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 6.4.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\sqrt{{(5)}^{2} - 4} \leq 3 - (5)$

Etapa 6.4.3

O lado esquerdo $4.58257569$ é maior do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{13}{6}$ Verdadeiro

$x > \frac{13}{6}$ Falso

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{13}{6}$ Verdadeiro

$x > \frac{13}{6}$ Falso

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 2$ ou $2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 2 or 2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \frac{13}{6}]$

Etapa 9