Álgebra Exemplos

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $x + \frac{1}{x} \geq 2$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $x + \frac{1}{x} \geq 2$ por $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Etapa 2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

Etapa 3

Resolva a desigualdade.

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Etapa 3.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} + 1 - 2 x \geq 0$

Etapa 3.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 1 - 2 x = 0$

Etapa 3.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.3.1

Reorganize os termos.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Etapa 3.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Etapa 3.3.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 3.3.4

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 3.3.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4

Encontre o domínio de $x + \frac{1}{x} - 2$ .

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) + \frac{1}{- 2} \geq 2$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo $- 2.5$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$(0.5) + \frac{1}{0.5} \geq 2$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $2.5$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(4) + \frac{1}{4} \geq 2$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $4.25$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Verdadeiro

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x \leq 1$ ou $x \geq 1$

Etapa 8

Combine os intervalos.

$x > 0$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x > 0$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Etapa 10