Álgebra Exemplos

$\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} = \frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} = \frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ .

$\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} = \frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

$\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2)) = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Simplifique $\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum de $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

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Etapa 3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2)) = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$A x^{2} + B x + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.1.1.2

Simplifique com comutação.

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Etapa 3.1.1.2.1

Reordene $A$ e $x^{2}$ .

$x^{2} A + B x + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.1.1.2.2

Reordene $B$ e $x$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $(\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para escrever $\frac{3 x - 5}{4 x + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7 x - 2}{7 x - 2}$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} \cdot \frac{7 x - 2}{7 x - 2} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.2

Para escrever $\frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} \cdot \frac{7 x - 2}{7 x - 2} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} \cdot \frac{4 x + 3}{4 x + 3}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(4 x + 3) (7 x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Multiplique $\frac{3 x - 5}{4 x + 3}$ por $\frac{7 x - 2}{7 x - 2}$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} \cdot \frac{4 x + 3}{4 x + 3}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.3.2

Multiplique $\frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ por $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(7 x - 2) (4 x + 3)}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.3.3

Reordene os fatores de $(7 x - 2) (4 x + 3)$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} A + x B + C = \frac{(3 x - 5) (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1.5.1

Expanda $(3 x - 5) (7 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 x (7 x - 2) - 5 (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 x (7 x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 x (7 x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.5.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 \cdot 7 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.5.2.1.2.1

Mova $x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 \cdot 7 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 \cdot 7 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.2.1.3

Multiplique $3$ por $7$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 6 x - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.2.1.5

Multiplique $7$ por $- 5$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 6 x - 35 x - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.2.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 6 x - 35 x + 10 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.2.2

Subtraia $35 x$ de $- 6 x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.3

Expanda $(- 2 x + 1) (4 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x + 3) + 1 (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.5.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.5.4.1.2.1

Mova $x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.4.1.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.4.1.5

Multiplique $4 x$ por $1$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 4 x + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.4.1.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 4 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.4.2

Some $- 6 x$ e $4 x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 2 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.5

Subtraia $8 x^{2}$ de $21 x^{2}$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{13 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.6

Subtraia $2 x$ de $- 41 x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{13 x^{2} - 43 x + 10 + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.5.7

Some $10$ e $3$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{13 x^{2} - 43 x + 13}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.6

Cancele o fator comum de $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} A + x B + C = \frac{13 x^{2} - 43 x + 13}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Etapa 3.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} A + x B + C = 13 x^{2} - 43 x + 13$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $x^{2} A$ dos dois lados da equação.

$x B + C = 13 x^{2} - 43 x + 13 - x^{2} A$

Etapa 4.2

Subtraia $x B$ dos dois lados da equação.

$C = 13 x^{2} - 43 x + 13 - x^{2} A - x B$