Álgebra Exemplos

$f (x) < {(x - 1)}^{2} - 1$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) < (x - 1) (x - 1) - 1$

Etapa 1.1.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) < x (x - 1) - 1 (x - 1) - 1$

Etapa 1.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 1$

Etapa 1.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) < x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Etapa 1.1.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f (x) < x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Etapa 1.1.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x) < x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Etapa 1.1.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x) < x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 1$

Etapa 1.1.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) < x^{2} - x - x + 1 - 1$

Etapa 1.1.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Etapa 1.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 0$

Etapa 1.1.2.2

Some $x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x$

Etapa 1.2

Subtraia $f (x)$ dos dois lados da desigualdade.

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Etapa 2

Encontre a inclinação e a intersecção com o eixo y da linha limítrofe.

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Etapa 2.1

Reescreva na forma reduzida.

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Etapa 2.1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.1.2

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$x^{2} - 2 x - f (x) > 0$

Etapa 2.1.3

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 2 x - f (x) = 0$

Etapa 2.1.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.1.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - f (x)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- f (x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.1.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6.1.3

Reescreva $4 + 4 f (x)$ como $2^{2} (1 + f (x))$ .

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Etapa 2.1.6.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6.1.3.2

Fatore $4$ de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Etapa 2.1.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Etapa 2.1.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.1.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.7.1.3

Reescreva $4 + 4 f (x)$ como $2^{2} (1 + f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.7.1.3.2

Fatore $4$ de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.7.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.7.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.7.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Etapa 2.1.7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Etapa 2.1.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}$

Etapa 2.1.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.1.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.1.3

Reescreva $4 + 4 f (x)$ como $2^{2} (1 + f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.1.3.2

Fatore $4$ de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Etapa 2.1.8.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Etapa 2.1.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Etapa 2.1.9

Consolide as soluções.

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}, 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Etapa 2.2

A equação não é linear, então uma inclinação constante não existe.

Não linear

Etapa 3

Represente uma linha tracejada em um gráfico e, depois, sombreie a área abaixo da linha limítrofe, pois $y$ é menor do que $x^{2} - 2 x - f (x)$ .

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Etapa 4