Álgebra Exemplos

$f (x) < 3 {(x - 2)}^{2} - 5$

Etapa 1

Resolva $y$ .

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Etapa 1.1

Simplifique $3 {(x - 2)}^{2} - 5$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$f (x) < 3 ((x - 2) (x - 2)) - 5$

Etapa 1.1.1.2

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) < 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 5$

Etapa 1.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) < 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 5$

Etapa 1.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) < 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Etapa 1.1.1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Etapa 1.1.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 5$

Etapa 1.1.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 4 x + 4) - 5$

Etapa 1.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) < 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 - 5$

Etapa 1.1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 - 5$

Etapa 1.1.1.5.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 12 - 5$

Etapa 1.1.2

Subtraia $5$ de $12$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 7$

Etapa 1.2

Subtraia $f (x)$ dos dois lados da desigualdade.

$0 < 3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$

Etapa 2

Encontre a inclinação e a intersecção com o eixo y da linha limítrofe.

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Etapa 2.1

Reescreva na forma reduzida.

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Etapa 2.1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.1.2

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x) > 0$

Etapa 2.1.3

Converta a desigualdade em uma equação.

$3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x) = 0$

Etapa 2.1.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.1.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 12$ e $c = 7 - f (x)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (7 - f (x)))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.6.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.6.1.4

Multiplique $- 12$ por $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.6.1.6

Subtraia $84$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Etapa 2.1.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.1.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.7.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.7.1.4

Multiplique $- 12$ por $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.7.1.6

Subtraia $84$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Etapa 2.1.7.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{12 + \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Etapa 2.1.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.1.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.8.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.8.1.4

Multiplique $- 12$ por $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.8.1.6

Subtraia $84$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Etapa 2.1.8.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{12 - \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Etapa 2.1.9

Consolide as soluções.

$x = \frac{12 + \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}, \frac{12 - \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Etapa 2.1.10

Organize o polinômio para seguir a forma $y = m x + b$ para inclinação e intersecção com o eixo y.

$3 x^{2} - 12 x = f (x) - 7$

Etapa 2.2

A equação não é linear, então uma inclinação constante não existe.

Não linear

Etapa 3

Represente uma linha tracejada em um gráfico e, depois, sombreie a área abaixo da linha limítrofe, pois $y$ é menor do que $3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$ .

$0 < 3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$

Etapa 4