Álgebra Exemplos

$x^{2} + 9 x + 14 > 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 9 x + 14 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 9$ e $c = 14$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 14$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $14$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $56$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 9 \pm 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 5}{2}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 2, - 7$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 2$

$x > - 2$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

${(- 10)}^{2} + 9 (- 10) + 14 > 0$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $24$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{2} + 9 (- 4) + 14 > 0$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $- 6$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $x > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 9 (0) + 14 > 0$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $14$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadeiro

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadeiro

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 7$ ou $x > - 2$