Álgebra Exemplos

$\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 2}) = 1$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 2}) = 1$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x + 2)$

Etapa 4

Simplifique $3 (3 x + 2)$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x) + 3 \cdot 2$

Etapa 4.2

Multiplique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 3 \cdot 2$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 6$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $9 x$ dos dois lados da equação.

$(x + 2) (x - 2) - 9 x = 6$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 2) + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Etapa 5.2.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 5.2.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Etapa 5.2.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 4 - 9 x = 6$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 9 x = 6 + 4$

Etapa 6.2

Some $6$ e $4$ .

$x^{2} - 9 x = 10$

Etapa 7

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 9 x - 10 = 0$

Etapa 8

Fatore $x^{2} - 9 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 10, 1$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 10

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 10.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 11

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 10) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 10, - 1$

Etapa 13

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$ verdadeira.

$x = 10$