Álgebra Exemplos

$\log_{6} (3 x^{2} - 3) - \log_{6} (4 x + 4) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{3 x^{2} - 3}{4 x + 4}) = 0$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 3$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{4 x + 4}) = 0$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{4 x + 4}) = 0$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{4 x + 4}) = 0$

Etapa 1.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{4 x + 4}) = 0$

Etapa 1.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 x + 4}) = 0$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Fatore $4$ de $4 x + 4$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x) + 4}) = 0$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x) + 4 (1)}) = 0$

Etapa 1.3.1.3

Fatore $4$ de $4 (x) + 4 (1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x + 1)}) = 0$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x + 1)}) = 0$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\log_{6} (\frac{3 (x - 1)}{4}) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{6} (\frac{3 (x - 1)}{4}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{3 (x - 1)}{4}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{3 (x - 1)}{4} = 6^{0}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{4} = 6^{0}$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4} = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Etapa 3.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4} = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 (x - 1)) = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 (x - 1)) = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x - 1 = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot 6^{0}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x - 1 = \frac{4}{3} \cdot 1$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{4}{3}$

Etapa 3.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{4}{3} + 1$

Etapa 3.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x = \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{4 + 3}{3}$

Etapa 3.4.4

Some $4$ e $3$ .

$x = \frac{7}{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{7}{3}$

Forma decimal:

$x = 2.\overline{3}$

Forma de número misto:

$x = 2 \frac{1}{3}$