Álgebra Exemplos

$\frac{x + 2}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x + 2}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{1}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 2 - (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1 \cdot 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{2 - x^{2} + 0 - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4.4

Some $2$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} + 2 - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4.5

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4.6

Reescreva $- x^{2} + 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4.6.2

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4.6.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ e $x - 1$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 5.1.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 5.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 5.1.4

Reordene os termos.

$\frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 5.1.5

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 5.1.6

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + x) \cdot (- 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 5.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $1 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + x)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + x}{x^{2} + x + 1}$