Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x^{2} + x - 6}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{1}{x^{2} + x - 6}$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x^{2} + x - 6} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x^{2} + x - 6}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{1}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.3

Para escrever $\frac{1}{x + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 2) (x + 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{1}{x + 3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{x + 3}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{x - 2}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 3 + x - 2}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 3 + x - 2 - 1}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.7

Some $x$ e $x$ .

$\frac{2 x + 3 - 2 - 1}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{2 x + 1 - 1}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9

Combine os termos opostos em $2 x + 1 - 1$ .

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Etapa 2.9.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 x + 0}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 x}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{2 x}{(x + 3) (x - 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 2$

Etapa 5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 3, x = 2$

Etapa 6