Álgebra Exemplos

$(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$

Etapa 1

Divida cada termo em $(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ por $x + 4$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ por $x + 4$ .

$\frac{(x + 4) (a x^{2} + b x + c)}{x + 4} = \frac{- 2 x^{3}}{x + 4} + \frac{- 7 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) (a x^{2} + b x + c)}{x + 4} = \frac{- 2 x^{3}}{x + 4} + \frac{- 7 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $a x^{2} + b x + c$ por $1$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- 2 x^{3}}{x + 4} + \frac{- 7 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a x^{2} + b x + c = \frac{- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$

Etapa 1.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{3}$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3}) - 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$

Etapa 1.3.3

Fatore $- 1$ de $- 7 x^{2}$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3}) - (7 x^{2}) + 3 x - 4}{x + 4}$

Etapa 1.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{3}) - (7 x^{2})$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 x - 4}{x + 4}$

Etapa 1.3.5

Fatore $- 1$ de $3 x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2}) - (- 3 x) - 4}{x + 4}$

Etapa 1.3.6

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{3} + 7 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x) - 4}{x + 4}$

Etapa 1.3.7

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x) - 1 (4)}{x + 4}$

Etapa 1.3.8

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x) - 1 (4)$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.9.1

Reescreva $- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4)$ como $- 1 (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4)$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- 1 (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a x^{2} + b x + c = - \frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4}{x + 4}$

Etapa 2

Mova todos os termos que não contêm $a$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $b x$ dos dois lados da equação.

$a x^{2} + c = - \frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4}{x + 4} - b x$

Etapa 2.2

Subtraia $c$ dos dois lados da equação.

$a x^{2} = - \frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Divida a fração $\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4}{x + 4}$ em duas frações.

$a x^{2} = - (\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Etapa 2.3.2

Fatore $x$ de $2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2}) + 7 x^{2} - 3 x}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Etapa 2.3.2.2

Fatore $x$ de $7 x^{2}$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2}) + x (7 x) - 3 x}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Etapa 2.3.2.3

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2}) + x (7 x) + x \cdot - 3}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Etapa 2.3.2.4

Fatore $x$ de $x (2 x^{2}) + x (7 x)$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 3}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Etapa 2.3.2.5

Fatore $x$ de $x (2 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 3$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} = - \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 3

Divida cada termo em $a x^{2} = - \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $a x^{2} = - \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$ por $x^{2}$ .

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{- \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{- \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{- \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{- \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{\frac{- x (2 x^{2} + 7 x - 3) - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{\frac{- x (2 x^{2}) - x (7 x) - x \cdot - 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x \cdot x^{2} - x (7 x) - x \cdot - 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x \cdot x^{2} - 1 \cdot 7 x \cdot x - x \cdot - 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x \cdot x^{2} - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 (x^{2} x) - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.2.1.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{3} - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$a = \frac{\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.3.3.1

Mova $x$ .

$a = \frac{\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot 7 (x \cdot x) + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$a = \frac{\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$a = \frac{\frac{- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4

Fatore $- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.3.2.1.4.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Substitua $- 4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 4$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.3.2.1.4.3.1

Substitua $- 4$ no polinômio.

$- 2 {(- 4)}^{3} - 7 {(- 4)}^{2} + 3 \cdot - 4 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.3.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot - 64 - 7 {(- 4)}^{2} + 3 \cdot - 4 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 64$ .

$128 - 7 {(- 4)}^{2} + 3 \cdot - 4 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.3.4

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$128 - 7 \cdot 16 + 3 \cdot - 4 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.3.5

Multiplique $- 7$ por $16$ .

$128 - 112 + 3 \cdot - 4 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.3.6

Subtraia $112$ de $128$ .

$16 + 3 \cdot - 4 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.3.7

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$16 - 12 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.3.8

Subtraia $12$ de $16$ .

$4 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.3.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 3.3.2.1.4.4

Como $- 4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$

Etapa 3.3.2.1.4.5

Divida $- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ por $x + 4$ .

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Etapa 3.3.2.1.4.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$4$

Etapa 3.3.2.1.4.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} - 8 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 4 x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$
							-	$x$	-	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 4$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$
							+	$x$	+	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$
							+	$x$	+	$4$
										$0$

Etapa 3.3.2.1.4.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 2 x^{2} + x - 1$

Etapa 3.3.2.1.4.6

Escreva $- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$a = \frac{\frac{(x + 4) (- 2 x^{2} + x - 1)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$a = \frac{\frac{(x + 4) (- 2 x^{2} + x - 1)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.2.2

Divida $- 2 x^{2} + x - 1$ por $1$ .

$a = \frac{- 2 x^{2} + x - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$a = \frac{- (2 x^{2}) + x - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $- 1$ de $x$ .

$a = \frac{- (2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2}) - 1 (- x)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x) - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x) - 1 (1) - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2} - x) - 1 (1)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1) - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- b x$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1) - (b x) - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2} - x + 1) - (b x)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1 + b x) - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- c$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1 + b x) - (c)}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.9

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2} - x + 1 + b x) - (c)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1 + b x + c)}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.10.1

Reescreva $- (2 x^{2} - x + 1 + b x + c)$ como $- 1 (2 x^{2} - x + 1 + b x + c)$ .

$a = \frac{- 1 (2 x^{2} - x + 1 + b x + c)}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3.10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{2 x^{2} - x + 1 + b x + c}{x^{2}}$