Álgebra Exemplos

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Etapa 2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Escreva na forma exponencial.

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Etapa 2.1.1

Para equações logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ é equivalente a $b^{y} = x$ , de forma que $x > 0$ , $b > 0$ e $b \neq 1$ . Neste caso, $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ e $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Etapa 2.1.2

Substitua os valores de $b$ , $x$ e $y$ na equação $b^{y} = x$ .

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Etapa 2.2.2

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| x - 1 | = | 3 |$

Etapa 2.2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Etapa 2.2.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Etapa 2.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.2.3.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x - 1 = 3$

Etapa 2.2.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.2.3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 3 + 1$

Etapa 2.2.3.3.2.2

Some $3$ e $1$ .

$x = 4$

Etapa 2.2.3.3.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x - 1 = - 3$

Etapa 2.2.3.3.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = - 3 + 1$

Etapa 2.2.3.3.4.2

Some $- 3$ e $1$ .

$x = - 2$

Etapa 2.2.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 2$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

${(x - 1)}^{2} > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique a equação.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Simplifique $\sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x - 1 | > | 0 |$

Etapa 3.2.2.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$| x - 1 | > 0$

Etapa 3.2.3

Escreva $| x - 1 | > 0$ em partes.

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Etapa 3.2.3.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x - 1 \geq 0$

Etapa 3.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 1$

Etapa 3.2.3.3

Na parte em que $x - 1$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x - 1 > 0$

Etapa 3.2.3.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x - 1 < 0$

Etapa 3.2.3.5

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x < 1$

Etapa 3.2.3.6

Na parte em que $x - 1$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- (x - 1) > 0$

Etapa 3.2.3.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

Etapa 3.2.3.8

Simplifique $- (x - 1) > 0$ .

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Etapa 3.2.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Etapa 3.2.3.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Etapa 3.2.4

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x > 1$

Etapa 3.2.5

Resolva $- x + 1 > 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x > - 1$

Etapa 3.2.5.2

Divida cada termo em $- x > - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.2.5.2.1

Divida cada termo em $- x > - 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.2.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.5.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x < 1$

Etapa 3.2.6

Encontre a união das soluções.

$x < 1$ ou $x > 1$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

Etapa 5.1.3

O lado esquerdo $2.92994704$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $0$ não é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $0$ não é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 5.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

Etapa 5.4.3

O lado esquerdo $2.92994704$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $x > 4$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 2 or x > 4$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Etapa 8