Álgebra Exemplos

$\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 1, x + 4, 2$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 1.5

O MMC de $1, 1, 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 1.6

O fator de $x + 1$ é o próprio $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O fator de $x + 4$ é o próprio $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $x + 1, x + 4$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + 1) (x + 4)$

Etapa 1.9

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$2 (x + 1) (x + 4)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{2}$ por $2 (x + 1) (x + 4)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{2}$ por $2 (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{2}{x + 1} (2 (x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{2}{x + 1} ((x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2 \frac{2}{x + 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x + 1} ((x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{x + 1} ((x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x + 1} ((x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$4 (x + 4) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot 4 + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$4 x + 16 + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x + 16 + 2 \frac{x}{x + 4} ((x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.7

Combine $2$ e $\frac{x}{x + 4}$ .

$4 x + 16 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.8

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 2.2.1.8.1

Fatore $x + 4$ de $(x + 1) (x + 4)$ .

$4 x + 16 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 4) (x + 1)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$4 x + 16 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 4) (x + 1)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$4 x + 16 + 2 x (x + 1) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 16 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.10

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.10.1

Mova $x$ .

$4 x + 16 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.10.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x + 16 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.1.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 x + 16 + 2 x^{2} + 2 x = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.2.2

Some $4 x$ e $2 x$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $2$ de $2 (x + 1) (x + 4)$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = \frac{1}{2} (2 ((x + 1) (x + 4)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = \frac{1}{2} (2 ((x + 1) (x + 4)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = (x + 1) (x + 4)$

Etapa 2.3.2

Expanda $(x + 1) (x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x (x + 4) + 1 (x + 4)$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4)$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + 4 x + x + 4$

Etapa 2.3.3.2

Some $4 x$ e $x$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + 5 x + 4$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$6 x + 16 + 2 x^{2} - x^{2} = 5 x + 4$

Etapa 3.1.2

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$6 x + 16 + 2 x^{2} - x^{2} - 5 x = 4$

Etapa 3.1.3

Subtraia $5 x$ de $6 x$ .

$16 + 2 x^{2} - x^{2} + x = 4$

Etapa 3.1.4

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$16 + x^{2} + x = 4$

Etapa 3.2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$16 + x^{2} + x - 4 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $4$ de $16$ .

$x^{2} + x + 12 = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 12$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.3

Subtraia $48$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva $- 47$ como $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (47)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{2}$