Álgebra Exemplos

$\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1}) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1^{2}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Reescreva $\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$9 x + 5 = 16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4

Simplifique $16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$ .

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Etapa 4.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$9 x + 5 = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.3.1

Cancele o fator comum.

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4.1.3.2

Reescreva a expressão.

$9 x + 5 = 4^{1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4.1.4

Avalie o expoente.

$9 x + 5 = 4 ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x - 1)$

Etapa 4.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + 0 - 1)$

Etapa 4.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1)$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 \cdot - 1$

Etapa 4.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} - 4$

Etapa 5

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$9 x + 5 - 4 x^{2} = - 4$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$9 x - 4 x^{2} = - 4 - 5$

Etapa 6.2

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$9 x - 4 x^{2} = - 9$

Etapa 7

Some $9$ aos dois lados da equação.

$9 x - 4 x^{2} + 9 = 0$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $- 1$ de $9 x - 4 x^{2} + 9$ .

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Etapa 8.1.1

Reordene $9 x$ e $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 9 x + 9 = 0$

Etapa 8.1.3

Fatore $- 1$ de $9 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) + 9 = 0$

Etapa 8.1.4

Reescreva $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Etapa 8.1.5

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Etapa 8.1.6

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Etapa 8.2

Fatore.

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Etapa 8.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva $- 9$ como $3$ mais $- 12$

$- (4 x^{2} + (3 - 12) x - 9) = 0$

Etapa 8.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (4 x^{2} + 3 x - 12 x - 9) = 0$

Etapa 8.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((4 x^{2} + 3 x) - 12 x - 9) = 0$

Etapa 8.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (x (4 x + 3) - 3 (4 x + 3)) = 0$

Etapa 8.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (4 x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 10

Defina $4 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $4 x + 3$ como igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $4 x + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 3$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $4 x = - 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{4}$

Etapa 11

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 11.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $- (4 x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{3}{4}, 3$

Etapa 13

Exclua as soluções que não tornam $\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$ verdadeira.

$x = 3$