Álgebra Exemplos

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x^{2} - 6}{4 x + 1}) = 1$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $4 x^{2} - 6$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) - 6}{4 x + 1}) = 1$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)}{4 x + 1}) = 1$

Etapa 1.2.3

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x + 1)$

Etapa 4

Simplifique $5 (4 x + 1)$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x) + 5 \cdot 1$

Etapa 4.2

Multiplique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5 \cdot 1$

Etapa 4.2.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $20 x$ dos dois lados da equação.

$2 (2 x^{2} - 3) - 20 x = 5$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Etapa 5.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 - 20 x = 5$

Etapa 6

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $2$ de $4 x^{2} - 6 - 20 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 6 - 20 x = 5$

Etapa 6.1.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) - 20 x = 5$

Etapa 6.1.3

Fatore $2$ de $- 20 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Etapa 6.1.4

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Etapa 6.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (2 x^{2} - 3 - 10 x) = 5$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$

Etapa 7

Divida cada termo em $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $2 x^{2} - 10 x - 3$ por $1$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{5}{2}$

Etapa 8

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 8.1

Subtraia $\frac{5}{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2} = 0$

Etapa 8.2

Simplifique $2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2}$ .

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Etapa 8.2.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Etapa 8.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Etapa 8.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

Etapa 8.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 6 - 5}{2} = 0$

Etapa 8.2.4.2

Subtraia $5$ de $- 6$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 11}{2} = 0$

Etapa 8.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x^{2} - 10 x - \frac{11}{2} = 0$

Etapa 9

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$4 x^{2} - 20 x + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{11}{2}$ para o numerador.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Etapa 9.2.3.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Etapa 9.2.3.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{2} - 20 x - 11 = 0$

Etapa 10

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 11

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 20$ e $c = - 11$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Eleve $- 20$ à potência de $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Etapa 12.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Etapa 12.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Etapa 12.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 11$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2 \cdot 4}$

Etapa 12.1.3

Some $400$ e $176$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}$

Etapa 12.1.4

Reescreva $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 4}$

Etapa 12.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{20 \pm 24}{2 \cdot 4}$

Etapa 12.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{20 \pm 24}{8}$

Etapa 12.3

Simplifique $\frac{20 \pm 24}{8}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{2}$

Etapa 13

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{11}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 14

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$ verdadeira.

$x = \frac{11}{2}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{11}{2}$

Forma decimal:

$x = 5.5$

Forma de número misto:

$x = 5 \frac{1}{2}$