Álgebra Exemplos

$y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = {(\frac{1}{4})}^{y}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como ${(\frac{1}{4})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{4})}^{y} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{1}{4})}^{y}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Expanda $\ln ({(\frac{1}{4})}^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (\frac{1}{4}) = \ln (x)$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\ln (\frac{1}{4})$ como $\ln (1) - \ln (4)$ .

$y (\ln (1) - \ln (4)) = \ln (x)$

Etapa 2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$y (0 - \ln (4)) = \ln (x)$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$y (0 - \ln (2^{2})) = \ln (x)$

Etapa 2.3.5

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$y (0 - (2 \ln (2))) = \ln (x)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y (0 - 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 2.3.7

Subtraia $2 \ln (2)$ de $0$ .

$y (- 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 2.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reordene os fatores em $y (- 2 \ln (2))$ .

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ por $- 2 \ln (2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ por $- 2 \ln (2)$ .

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Etapa 2.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{4})}^{x})}{2 \ln (2)}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Etapa 4.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Etapa 4.2.4

Simplifique $2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (2^{2})}$

Etapa 4.2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (4)}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique $2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Etapa 4.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Etapa 4.3.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Etapa 4.3.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \log_{4} (x)}}$

Etapa 4.3.5.2

Simplifique $- \log_{4} (x)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{\log_{4} (x^{- 1})}}$

Etapa 4.3.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Etapa 4.3.5.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = 1 x$

Etapa 4.3.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$