Álgebra Exemplos

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0$

Etapa 1

Multiplique cada termo por um fator de $1$ , que vai equacionar todos os denominadores. Nesse caso, todos os termos precisam de um denominador de $4$ .

$\sin^{2} (x) \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2

Multiplique a expressão por um fator de $1$ para criar o mínimo múltiplo comum (MMC) de $4$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 4$

Etapa 3

Mova $4$ para a esquerda de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4

Multiplique a expressão por um fator de $1$ para criar o mínimo múltiplo comum (MMC) de $4$ .

$0 \cdot 4$

Etapa 5

Multiplique $0$ por $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} - \frac{3}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Divida $4$ por $4$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 1 - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 6.2

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7

Simplifique $0 \cdot \frac{4}{4}$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum.

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0 \cdot 1$

Etapa 7.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0$

Etapa 8

Some $\frac{3}{4}$ aos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Etapa 9

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 10

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 10.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 13.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 13.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 13.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4.2

Combine frações.

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Etapa 13.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 13.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 13.4.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 14.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 14.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 14.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 14.4.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 14.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 14.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 14.6.3

Combine frações.

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Etapa 14.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 14.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 14.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.6.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 14.6.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 14.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 14.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Consolide as soluções.

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Etapa 16.1

Consolide $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$