Álgebra Exemplos

$\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} + x - 19) = 2$

Etapa 1

Reescreva $\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} + x - 19) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

${(- 2 x - 3)}^{2} = 3 x^{2} + x - 19$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$3 x^{2} + x - 19 = {(- 2 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique ${(- 2 x - 3)}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva.

$3 x^{2} + x - 19 = 0 + 0 + {(- 2 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Reescreva ${(- 2 x - 3)}^{2}$ como $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ .

$3 x^{2} + x - 19 = (- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$

Etapa 2.2.3

Expanda $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3)$

Etapa 2.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x - 3)$

Etapa 2.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.4.1.2.1

Mova $x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.2.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.2.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.2.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x + 6 x - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.2.4.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9$

Etapa 2.2.4.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 12 x + 9$

Etapa 2.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + x - 19 - 4 x^{2} = 12 x + 9$

Etapa 2.3.2

Subtraia $12 x$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + x - 19 - 4 x^{2} - 12 x = 9$

Etapa 2.3.3

Subtraia $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$- x^{2} + x - 19 - 12 x = 9$

Etapa 2.3.4

Subtraia $12 x$ de $x$ .

$- x^{2} - 11 x - 19 = 9$

Etapa 2.4

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} - 11 x - 19 - 9 = 0$

Etapa 2.5

Subtraia $9$ de $- 19$ .

$- x^{2} - 11 x - 28 = 0$

Etapa 2.6

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.6.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} - 11 x - 28$ .

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Etapa 2.6.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 11 x - 28 = 0$

Etapa 2.6.1.2

Fatore $- 1$ de $- 11 x$ .

$- (x^{2}) - (11 x) - 28 = 0$

Etapa 2.6.1.3

Reescreva $- 28$ como $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Etapa 2.6.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (11 x)$ .

$- (x^{2} + 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Etapa 2.6.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

Etapa 2.6.2

Fatore.

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Etapa 2.6.2.1

Fatore $x^{2} + 11 x + 28$ usando o método AC.

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Etapa 2.6.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $28$ e cuja soma é $11$ .

$4, 7$

Etapa 2.6.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x + 4) (x + 7)) = 0$

Etapa 2.6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x + 4) (x + 7) = 0$

Etapa 2.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 2.8

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.8.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.8.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.9

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.9.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 2.9.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 2.10

A solução final são todos os valores que tornam $- (x + 4) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, - 7$