Álgebra Exemplos

$\frac{x}{x^{2} + 1} \leq 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{x^{2} + 1} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.2

Combine $- 1$ e $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1 (1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.10

Reescreva $- (x^{2} - x + 1)$ como $- 1 (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 9

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 10

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 11

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 11.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = i, - i$

Etapa 13

O coeficiente de maior ordem não pode ser determinado, porque $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ não é um polinômio.

Não é polinômio

Etapa 14

Como não há intersecções reais com o eixo x e o coeficiente de maior ordem é positivo, a parábola abre para cima e $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ é sempre maior do que $0$ .

Nenhuma solução