Álgebra Exemplos

$\frac{x + 4}{x^{2} - 1} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x + 4}{x^{2} - 1^{2}} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(x + 1) (x - 1), 1, x - 1$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $x + 1$ é o próprio $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $x - 1$ é o próprio $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O MMC de $x + 1, x - 1, x - 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + 1) (x - 1)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$ por $(x + 1) (x - 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x + 4 - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 4 - 5 (x (x - 1) + 1 (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 4 - 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 4 - 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + x - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} + 0 - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 4 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 1 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$x + 4 - 5 x^{2} + 5 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.2

Some $4$ e $5$ .

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $x - 1$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$x - 5 x^{2} + 9 = x + 1$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x - 5 x^{2} + 9 - x = 1$

Etapa 4.1.2

Combine os termos opostos em $x - 5 x^{2} + 9 - x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$- 5 x^{2} + 9 + 0 = 1$

Etapa 4.1.2.2

Some $- 5 x^{2} + 9$ e $0$ .

$- 5 x^{2} + 9 = 1$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- 5 x^{2} = 1 - 9$

Etapa 4.2.2

Subtraia $9$ de $1$ .

$- 5 x^{2} = - 8$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $- 5 x^{2} = - 8$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $- 5 x^{2} = - 8$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 5}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{8}{5}$

Etapa 4.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{5}}$

Etapa 4.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{8}{5}}$ .

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Etapa 4.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{8}{5}}$ como $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.2.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.5.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{5}}$

Etapa 4.5.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 4.5.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 4.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.5.4.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 4.5.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 4.5.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 4.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 4.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 4.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 4.5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 2}}{5}$

Etapa 4.5.5.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 4.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 4.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}, - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}, - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Forma decimal:

$x = 1.26491106 \dots, - 1.26491106 \dots$