Álgebra Exemplos

$\frac{1}{4} | x - 3 | + 2 < 1$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{4} \cdot | x - 3 | + 2 < 1$ em partes.

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Etapa 1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x - 3 \geq 0$

Etapa 1.2

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 3$

Etapa 1.3

Na parte em que $x - 3$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$\frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1$

Etapa 1.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x - 3 < 0$

Etapa 1.5

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x < 3$

Etapa 1.6

Na parte em que $x - 3$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1$

Etapa 1.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} \frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8

Simplifique $\frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1$ .

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Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 3 + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 3 + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4} + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.8.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.8.5.2

Some $- 3$ e $8$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9

Simplifique $\frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1$ .

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Etapa 1.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- x - - 3) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- x + 3) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} (- x) + \frac{1}{4} \cdot 3 + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.1.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 3 + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.1.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3 + 2 \cdot 4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.9.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3 + 8}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 1.9.5.2

Some $3$ e $8$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Etapa 2

Resolva $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1$ quando $x \geq 3$ .

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Etapa 2.1

Resolva $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1$ para $x$ .

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Etapa 2.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 2.1.1.1

Subtraia $\frac{5}{4}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x}{4} < 1 - \frac{5}{4}$

Etapa 2.1.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x}{4} < \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

Etapa 2.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{4} < \frac{4 - 5}{4}$

Etapa 2.1.1.4

Subtraia $5$ de $4$ .

$\frac{x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.1.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x}{4} < - \frac{1}{4}$

Etapa 2.1.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x < - 1$

Etapa 2.2

Encontre a intersecção de $x < - 1$ e $x \geq 3$ .

Nenhuma solução

Etapa 3

Resolva $- \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1$ quando $x < 3$ .

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Etapa 3.1

Resolva $- \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1$ para $x$ .

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Etapa 3.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 3.1.1.1

Subtraia $\frac{11}{4}$ dos dois lados da desigualdade.

$- \frac{x}{4} < 1 - \frac{11}{4}$

Etapa 3.1.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{x}{4} < \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

Etapa 3.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{x}{4} < \frac{4 - 11}{4}$

Etapa 3.1.1.4

Subtraia $11$ de $4$ .

$- \frac{x}{4} < \frac{- 7}{4}$

Etapa 3.1.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{4} < - \frac{7}{4}$

Etapa 3.1.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$- x < - 7$

Etapa 3.1.3

Divida cada termo em $- x < - 7$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Divida cada termo em $- x < - 7$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 3.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 3.1.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.3.1

Divida $- 7$ por $- 1$ .

$x > 7$

Etapa 3.2

Encontre a intersecção de $x > 7$ e $x < 3$ .

Nenhuma solução

Etapa 4

Encontre a união das soluções.

Nenhuma solução