Álgebra Exemplos

$\log_{2} (x^{2} + 2) - \log_{2} (3 x + 6) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 6}) = 0$

Etapa 1.2

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x) + 6}) = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} + 2 = 2^{0} (3 (x + 2))$

Etapa 4

Simplifique $2^{0} (3 (x + 2))$ .

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Etapa 4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{2} + 2 = 1 (3 (x + 2))$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3 (x + 2)$ por $1$ .

$x^{2} + 2 = 3 (x + 2)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 = 3 x + 3 \cdot 2$

Etapa 4.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$x^{2} + 2 = 3 x + 6$

Etapa 5

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 2 - 3 x = 6$

Etapa 6

Fatore $x^{2} + 2 - 3 x$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x - 1) = 6$

Etapa 7

Simplifique $(x - 2) (x - 1)$ .

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Etapa 7.1

Expanda $(x - 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 6$

Etapa 7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 6$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 6$

Etapa 7.2.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 6$

Etapa 8

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x + 2 - 6 = 0$

Etapa 9

Subtraia $6$ de $2$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Etapa 10

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 10.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 10.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 12

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 12.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 13

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 1$