Álgebra Exemplos

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} (2 x + 4) = 3$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 4}{2 x + 4}) = 3$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x + 4}) = 3$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 4}) = 3$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Fatore $2$ de $2 x + 4$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) + 4}) = 3$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot 2}) = 3$

Etapa 1.3.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Etapa 1.3.2

Reduza a expressão $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\log_{2} (\frac{x - 2}{2}) = 3$

Etapa 1.4

Reescreva $\frac{x - 2}{2}$ como $(x - 2) \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1}) = 3$

Etapa 1.5

Reescreva $\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1})$ como $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1}) = 3$

Etapa 1.6

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$\log_{2} (x - 2) - \log_{2} (2) = 3$

Etapa 1.7

A base do logaritmo $2$ de $2$ é $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 \cdot 1 = 3$

Etapa 1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 = 3$

Etapa 2

Mova todos os termos que não contêm $\log_{2} (x - 2)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\log_{2} (x - 2) = 3 + 1$

Etapa 2.2

Some $3$ e $1$ .

$\log_{2} (x - 2) = 4$

Etapa 3

Reescreva $\log_{2} (x - 2) = 4$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{4} = x - 2$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $x - 2 = 2^{4}$ .

$x - 2 = 2^{4}$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$x - 2 = 16$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 16 + 2$

Etapa 4.3.2

Some $16$ e $2$ .

$x = 18$