Álgebra Exemplos

${(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x} > {(\frac{4}{3})}^{3 x}$

Etapa 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x})$ movendo $x^{2} + 5 x$ para fora do logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) \ln (\frac{3}{4}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{3}{4})$ como $\ln (3) - \ln (4)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (4)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Etapa 4

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (2^{2})) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Etapa 5

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - (2 \ln (2))) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Etapa 6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Etapa 7

Expanda $\ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$ movendo $3 x$ para fora do logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x \ln (\frac{4}{3})$

Etapa 8

Reescreva $\ln (\frac{4}{3})$ como $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9

Resolva a desigualdade para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9.1.3

Expanda $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (\ln (3) - 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9.1.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 \cdot - 2 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9.1.4.3

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Etapa 9.2

Simplifique $3 x (\ln (4) - \ln (3))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 x (- \ln (3))$

Etapa 9.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 \cdot - 1 x \ln (3)$

Etapa 9.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) - 3 x \ln (3)$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Subtraia $3 x \ln (4)$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > - 3 x \ln (3)$

Etapa 9.3.2

Some $3 x \ln (3)$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) + 3 x \ln (3) > 0$

Etapa 9.3.3

Some $5 x \ln (3)$ e $3 x \ln (3)$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Etapa 9.4

Fatore $x$ de $x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Fatore $x$ de $x^{2} \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Etapa 9.4.2

Fatore $x$ de $- 2 x^{2} \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Etapa 9.4.3

Fatore $x$ de $8 x \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Etapa 9.4.4

Fatore $x$ de $- 10 x \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) - 3 x \ln (4) > 0$

Etapa 9.4.5

Fatore $x$ de $- 3 x \ln (4)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Etapa 9.4.6

Fatore $x$ de $x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Etapa 9.4.7

Fatore $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Etapa 9.4.8

Fatore $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Etapa 9.4.9

Fatore $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$

Etapa 9.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Etapa 9.6

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 9.7

Defina $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Defina $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ como igual a $0$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Etapa 9.7.2

Resolva $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.1.1

Subtraia $8 \ln (3)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3)$

Etapa 9.7.2.1.2

Some $10 \ln (2)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$

Etapa 9.7.2.1.3

Some $3 \ln (4)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Etapa 9.7.2.2

Fatore $x$ de $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.2.1

Fatore $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Etapa 9.7.2.2.2

Fatore $x$ de $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Etapa 9.7.2.2.3

Fatore $x$ de $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Etapa 9.7.2.3

Divida cada termo em $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.1

Divida cada termo em $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.3.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.1.2.2

Fatore $2$ de $- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.1.2.2.2

Fatore $2$ de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.1.2.2.3

Fatore $2$ de $2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.2.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.3.2

Fatore $- 1$ de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.3.4

Fatore $- 1$ de $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.3.3.3.6.1

Reescreva $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ como $- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.7.2.3.3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 9.8

A solução final são todos os valores que tornam $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

$x > 0$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 10)}^{2} + 5 (- 10)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 10)}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $5.66321656 E - 7$ não é maior do que o lado direito $0.00017858$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 4)}^{2} + 5 (- 4)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 4)}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $3.16049382$ é maior do que o lado direito $0.03167635$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(\frac{3}{4})}^{{(2)}^{2} + 5 (2)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (2)}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0.01781794$ não é maior do que o lado direito $5.61865569$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falso

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falso

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Notação de intervalo:

$(- \frac{\ln (\frac{6561}{65536})}{\ln (\frac{3}{4})}, 0)$

Etapa 14