Álgebra Exemplos

$4^{x + 1} + 2^{x + 3} = 320$

Etapa 1

Subtraia $320$ dos dois lados da equação.

$4^{x + 1} + 2^{x + 3} - 320 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $4^{x + 1}$ como $4^{x} \cdot 4^{1}$ .

$4^{x} \cdot 4 + 2^{x + 3} - 320 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $2^{x + 3}$ como $2^{x} \cdot 2^{3}$ .

$4^{x} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Etapa 2.3

Reescreva $4^{x}$ como ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Etapa 2.4

Reescreva ${(2^{2})}^{x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Etapa 2.5

Deixe $u = 2^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $2^{x}$ .

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Etapa 2.5.1

Avalie o expoente.

$u^{2} \cdot 4 + u \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Etapa 2.5.2

Mova $4$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$4 \cdot u^{2} + u \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Etapa 2.5.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 u^{2} + u \cdot 8 - 320 = 0$

Etapa 2.5.4

Mova $8$ para a esquerda de $u$ .

$4 u^{2} + 8 u - 320 = 0$

Etapa 2.6

Fatore $4$ de $4 u^{2} + 8 u - 320$ .

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Etapa 2.6.1

Fatore $4$ de $4 u^{2}$ .

$4 (u^{2}) + 8 u - 320 = 0$

Etapa 2.6.2

Fatore $4$ de $8 u$ .

$4 (u^{2}) + 4 (2 u) - 320 = 0$

Etapa 2.6.3

Fatore $4$ de $- 320$ .

$4 u^{2} + 4 (2 u) + 4 \cdot - 80 = 0$

Etapa 2.6.4

Fatore $4$ de $4 u^{2} + 4 (2 u)$ .

$4 (u^{2} + 2 u) + 4 \cdot - 80 = 0$

Etapa 2.6.5

Fatore $4$ de $4 (u^{2} + 2 u) + 4 \cdot - 80$ .

$4 (u^{2} + 2 u - 80) = 0$

Etapa 2.7

Fatore.

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Etapa 2.7.1

Fatore $u^{2} + 2 u - 80$ usando o método AC.

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Etapa 2.7.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 80$ e cuja soma é $2$ .

$- 8, 10$

Etapa 2.7.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Etapa 2.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Etapa 2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{x}$ .

$4 (2^{x} - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 \cdot 2^{x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Etapa 2.9.2

Multiplique $4 \cdot 2^{x}$ .

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Etapa 2.9.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(2^{2} \cdot 2^{x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Etapa 2.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2^{2 + x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Etapa 2.9.3

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$(2^{2 + x} - 32) (2^{x} + 10) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2^{2 + x} - 32 = 0$

$2^{x} + 10 = 0$

Etapa 4

Defina $2^{2 + x} - 32$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $2^{2 + x} - 32$ como igual a $0$ .

$2^{2 + x} - 32 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2^{2 + x} - 32 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $32$ aos dois lados da equação.

$2^{2 + x} = 32$

Etapa 4.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{2 + x} = 2^{5}$

Etapa 4.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$2 + x = 5$

Etapa 4.2.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.4.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = 5 - 2$

Etapa 4.2.4.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$x = 3$

Etapa 5

Defina $2^{x} + 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $2^{x} + 10$ como igual a $0$ .

$2^{x} + 10 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2^{x} + 10 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$2^{x} = - 10$

Etapa 5.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 10)$

Etapa 5.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 10)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.2.4

Não há uma solução para $2^{x} = - 10$

Nenhuma solução

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(2^{2 + x} - 32) (2^{x} + 10) = 0$ verdadeiro.

$x = 3$