Álgebra Exemplos

$12 < y (8 - y)$

Etapa 1

Reescreva de forma que $y$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$y (8 - y) > 12$

Etapa 2

Simplifique $y (8 - y)$ .

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Etapa 2.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \cdot 8 + y (- y) > 12$

Etapa 2.1.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Mova $8$ para a esquerda de $y$ .

$8 \cdot y + y (- y) > 12$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 \cdot y - y \cdot y > 12$

Etapa 2.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Mova $y$ .

$8 y - (y \cdot y) > 12$

Etapa 2.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$8 y - y^{2} > 12$

Etapa 3

Converta a desigualdade em uma equação.

$8 y - y^{2} = 12$

Etapa 4

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$8 y - y^{2} - 12 = 0$

Etapa 5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Fatore $- 1$ de $8 y - y^{2} - 12$ .

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Etapa 5.1.1

Reordene $8 y$ e $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 8 y - 12 = 0$

Etapa 5.1.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$- (y^{2}) + 8 y - 12 = 0$

Etapa 5.1.3

Fatore $- 1$ de $8 y$ .

$- (y^{2}) - (- 8 y) - 12 = 0$

Etapa 5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$- (y^{2}) - (- 8 y) - 1 \cdot 12 = 0$

Etapa 5.1.5

Fatore $- 1$ de $- (y^{2}) - (- 8 y)$ .

$- (y^{2} - 8 y) - 1 \cdot 12 = 0$

Etapa 5.1.6

Fatore $- 1$ de $- (y^{2} - 8 y) - 1 (12)$ .

$- (y^{2} - 8 y + 12) = 0$

Etapa 5.2

Fatore.

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Etapa 5.2.1

Fatore $y^{2} - 8 y + 12$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 6, - 2$

Etapa 5.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((y - 6) (y - 2)) = 0$

Etapa 5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (y - 6) (y - 2) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 2 = 0$

Etapa 7

Defina $y - 6$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 7.1

Defina $y - 6$ como igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

Etapa 7.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = 6$

Etapa 8

Defina $y - 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 8.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Etapa 8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $- (y - 6) (y - 2) = 0$ verdadeiro.

$y = 6, 2$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$y < 2$

$2 < y < 6$

$y > 6$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $y < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $y < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 0$

Etapa 11.1.2

Substitua $y$ por $0$ na desigualdade original.

$12 < (0) (8 - (0))$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $12$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $2 < y < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < y < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 4$

Etapa 11.2.2

Substitua $y$ por $4$ na desigualdade original.

$12 < (4) (8 - (4))$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $12$ é menor do que o lado direito $16$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $y > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $y > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 8$

Etapa 11.3.2

Substitua $y$ por $8$ na desigualdade original.

$12 < (8) (8 - (8))$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $12$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$y < 2$ Falso

$2 < y < 6$ Verdadeiro

$y > 6$ Falso

$y < 2$ Falso

$2 < y < 6$ Verdadeiro

$y > 6$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < y < 6$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$2 < y < 6$

Notação de intervalo:

$(2, 6)$

Etapa 14