Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{5}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 1, x + 2, 5$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

Como $5$ não tem fatores além de $1$ e $5$ .

$5$ é um número primo

Etapa 1.5

O MMC de $1, 1, 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$5$

Etapa 1.6

O fator de $x + 1$ é o próprio $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O fator de $x + 2$ é o próprio $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $x + 1, x + 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + 1) (x + 2)$

Etapa 1.9

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$5 (x + 1) (x + 2)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{5}$ por $5 (x + 1) (x + 2)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{5}$ por $5 (x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1}{x + 1} (5 (x + 1) (x + 2)) - \frac{1}{x + 2} (5 (x + 1) (x + 2)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x + 2)) - \frac{1}{x + 2} (5 (x + 1) (x + 2)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.2

Combine $5$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{5}{x + 1} ((x + 1) (x + 2)) - \frac{1}{x + 2} (5 (x + 1) (x + 2)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{x + 1} ((x + 1) (x + 2)) - \frac{1}{x + 2} (5 (x + 1) (x + 2)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$5 (x + 2) - \frac{1}{x + 2} (5 (x + 1) (x + 2)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 5 \cdot 2 - \frac{1}{x + 2} (5 (x + 1) (x + 2)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$5 x + 10 - \frac{1}{x + 2} (5 (x + 1) (x + 2)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.6

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 2.2.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x + 2}$ para o numerador.

$5 x + 10 + \frac{- 1}{x + 2} (5 (x + 1) (x + 2)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.6.2

Fatore $x + 2$ de $5 (x + 1) (x + 2)$ .

$5 x + 10 + \frac{- 1}{x + 2} ((x + 2) (5 (x + 1))) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$5 x + 10 + \frac{- 1}{x + 2} ((x + 2) (5 (x + 1))) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$5 x + 10 - (5 (x + 1)) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$5 x + 10 - 5 (x + 1) = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 10 - 5 x - 5 \cdot 1 = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.1.9

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$5 x + 10 - 5 x - 5 = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.2.1

Combine os termos opostos em $5 x + 10 - 5 x - 5$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Subtraia $5 x$ de $5 x$ .

$0 + 10 - 5 = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.2.1.2

Some $0$ e $10$ .

$10 - 5 = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $5$ de $10$ .

$5 = \frac{1}{5} (5 (x + 1) (x + 2))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $5$ de $5 (x + 1) (x + 2)$ .

$5 = \frac{1}{5} (5 ((x + 1) (x + 2)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$5 = \frac{1}{5} (5 ((x + 1) (x + 2)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$5 = (x + 1) (x + 2)$

Etapa 2.3.2

Expanda $(x + 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = x (x + 2) + 1 (x + 2)$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 = x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$5 = x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$5 = x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 = x^{2} + 2 x + x + 2$

Etapa 2.3.3.2

Some $2 x$ e $x$ .

$5 = x^{2} + 3 x + 2$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 3 x + 2 = 5$ .

$x^{2} + 3 x + 2 = 5$

Etapa 3.2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 3 x + 2 - 5 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = - 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.3

Some $9$ e $12$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{21}}{2}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - \sqrt{21}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{3 - \sqrt{21}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.79128784 \dots, - 3.79128784 \dots$