Álgebra Exemplos

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{6 x^{2} + 18 x - 24} \div \frac{x^{2} - 5 x + 4}{2 x^{2} - 32}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{6 x^{2} + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 1}{6 x^{2} + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$\frac{3 x^{2} + (1 - 3) x - 1}{6 x^{2} + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1}{6 x^{2} + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 3 x - 1}{6 x^{2} + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 x^{2} + x) - 3 x - 1}{6 x^{2} + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (3 x + 1) - (3 x + 1)}{6 x^{2} + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 x^{2} + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 18 x - 24$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 (x^{2}) + 18 x - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 3.1.2

Fatore $6$ de $18 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 (x^{2}) + 6 (3 x) - 24} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 3.1.3

Fatore $6$ de $- 24$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot - 4} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 3.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 4} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 3.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 4$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 (x^{2} + 3 x - 4)} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 ((x - 1) (x + 4))} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 (x - 1) (x + 4)} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x + 1) (x - 1)}{6 (x - 1) (x + 4)} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + 1}{6 (x + 4)} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 32$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{6 (x + 4)} \cdot \frac{2 (x^{2}) - 32}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 5.1.2

Fatore $2$ de $- 32$ .

$\frac{3 x + 1}{6 (x + 4)} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 16}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 5.1.3

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 16$ .

$\frac{3 x + 1}{6 (x + 4)} \cdot \frac{2 (x^{2} - 16)}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{6 (x + 4)} \cdot \frac{2 (x^{2} - 4^{2})}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{3 x + 1}{6 (x + 4)} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 5 x + 4}$

Etapa 6

Fatore $x^{2} - 5 x + 4$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 4, - 1$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 x + 1}{6 (x + 4)} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{(x - 4) (x - 1)}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $2 (x + 4)$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $2 (x + 4)$ de $6 (x + 4)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 4) (3)} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{(x - 4) (x - 1)}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 4) \cdot 3} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{(x - 4) (x - 1)}$

Etapa 7.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + 1}{3} \cdot \frac{x - 4}{(x - 4) (x - 1)}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{3 x + 1}{3}$ por $\frac{x - 4}{(x - 4) (x - 1)}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{3 ((x - 4) (x - 1))}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{3 ((x - 4) (x - 1))}$

Etapa 7.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + 1}{3 (x - 1)}$