Álgebra Exemplos

${(x + 1)}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 1

Simplifique e reordene o polinômio em ordem decrescente para usar a regra de Descartes.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 5)$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) (x - 5)$

Etapa 1.3.2

Some $x$ e $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$

Etapa 1.4

Expanda $(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5

Simplifique os termos.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.5.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5.1.1.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1.3.1

Mova $x$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5.1.4

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + 1 x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5.1.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x + 1 \cdot - 5$

Etapa 1.5.1.6

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x - 5$

Etapa 1.5.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Some $- 5 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + x - 5$

Etapa 1.5.2.2

Some $- 10 x$ e $x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

Etapa 2

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

Etapa 3

Como há $1$ mudança de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existe, no máximo, $1$ raiz positiva (regra dos sinais de Descartes).

Raízes positivas: $1$

Etapa 4

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua $x$ por $- x$ e repita a comparação de sinais.

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Etapa 5.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Etapa 5.3

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 9 (- x) - 5$

Etapa 5.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 (1 x^{2}) - 9 (- x) - 5$

Etapa 5.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 9 (- x) - 5$

Etapa 5.6

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 5$

Etapa 6

Como há $2$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $2$ raízes negativas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes negativas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $2 - 2$ ).

Raízes negativas: $2$ ou $0$

Etapa 7

O número possível de raízes positivas é $1$ , e o número possível de raízes negativas é $2$ ou $0$ .

Raízes positivas: $1$

Raízes negativas: $2$ ou $0$