Álgebra Exemplos

$(\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}) \div (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})$

Etapa 1

Reescreva a divisão como uma fração.

$\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique $\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$ por $\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)} \cdot \frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 2.2

Combine.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})}$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 4

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $p^{2} - q^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $p^{2} - q^{2}$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) ((q - p) (p + q)) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $q - p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $q - p$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (q - p) ((p^{2} - q^{2}) (p + q)) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $p + q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $p + q$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $(p + q) q$ de $(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $(p + q) q$ de $(q - p) (p + q) (p q)$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.1.2

Fatore $(p + q) q$ de $(p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.1.3

Fatore $(p + q) q$ de $(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(p + q) q (q p - p \cdot p + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.3

Multiplique $p$ por $p$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - (p \cdot p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $p$ por $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - p^{2} + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.4

Some $- p^{2}$ e $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q p + 0 - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.5

Some $q p$ e $0$ .

$\frac{(p + q) q (q p - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.6

Fatore $q$ de $q p - q^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Fatore $q$ de $q p$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.6.2

Fatore $q$ de $- q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) + q (- q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.6.3

Fatore $q$ de $q (p) + q (- q)$ .

$\frac{(p + q) q (q (p - q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

$\frac{(p + q) q \cdot q (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Eleve $q$ à potência de $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.7.2

Eleve $q$ à potência de $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q^{1}) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(p + q) q^{1 + 1} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 5.7.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.1.2

Fatore $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.1.3

Fatore $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q))$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.1.4

Fatore $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = p$ e $b = q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (p - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $- 1$ de $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.3.2

Fatore $- 1$ de $- q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - (q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p + q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.3.4

Reordene os termos.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 (- p + q) (- p + q) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.3.5

Eleve $- p + q$ à potência de $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} (- p + q)) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.3.6

Eleve $- p + q$ à potência de $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} {(- p + q)}^{1}) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{1 + 1} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.4

Fatore o negativo.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p \cdot p + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $p$ por $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + p (- q) + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q \cdot q + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.5.6

Multiplique $q$ por $q$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.6.1

Mova $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - (q \cdot q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.5.6.2

Multiplique $q$ por $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.6

Combine os termos opostos em $p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Reorganize os fatores nos termos $q p$ e $- p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + p q - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.6.2

Subtraia $p q$ de $p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + 0 - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.6.3

Some $p^{2}$ e $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Etapa 6.6.4

Subtraia $p^{2}$ de $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2} + 0)}$

Etapa 6.6.5

Some $- q^{2} + 4 q^{2}$ e $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2})}$

Etapa 6.7

Some $- q^{2}$ e $4 q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} \cdot 3 q^{2}}$

Etapa 6.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $p + q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Etapa 7.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $q^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{p - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $p - q$ e ${(- p + q)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Fatore $- 1$ de $p$ .

$\frac{- 1 (- p) - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Etapa 7.3.2

Fatore $- 1$ de $- q$ .

$\frac{- 1 (- p) - (q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Etapa 7.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{- 1 (- p + q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Etapa 7.3.4

Fatore $- p + q$ de $- 1 (- p + q)$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Etapa 7.3.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.1

Fatore $- p + q$ de $- 3 {(- p + q)}^{2}$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Etapa 7.3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Etapa 7.3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{- 3 (- p + q)}$

Etapa 7.4

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{1}{(3) (- p + q)}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- p$ .

$\frac{1}{3 (- (p) + q)}$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $q$ .

$\frac{1}{3 (- (p) - 1 (- q))}$

Etapa 7.7

Fatore $- 1$ de $- (p) - 1 (- q)$ .

$\frac{1}{3 (- (p - q))}$

Etapa 7.8

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Reescreva $- (p - q)$ como $- 1 (p - q)$ .

$\frac{1}{3 (- 1 (p - q))}$

Etapa 7.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3 (p - q)}$