Álgebra Exemplos

${(\frac{1}{3})}^{2 x + 1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$

Etapa 1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}} < {(\frac{1}{3})}^{2 x + 1}$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$ como ${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{1} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1^{2 x + 1}}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Etapa 3.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3^{2 x + 1}}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1^{2}}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique os expoentes em ${(3^{2 x + 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{(2 x + 1) \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{2 x \cdot 2 + 1 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 1 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.5.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 2}}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Pegue o logaritmo de ambos os lados da desigualdade.

$\ln (\frac{27}{3^{x - 1}}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Etapa 4.2

Reescreva $\ln (\frac{27}{3^{x - 1}})$ como $\ln (27) - \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (27) - \ln (3^{x - 1}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Etapa 4.3

Expanda $\ln (3^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$\ln (27) - ((x - 1) \ln (3)) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Etapa 4.4

Remova os parênteses.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Etapa 4.5

Reescreva $\ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$ como $\ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$

Etapa 4.6

Expanda $\ln (3^{4 x + 2})$ movendo $4 x + 2$ para fora do logaritmo.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - ((4 x + 2) \ln (3))$

Etapa 4.7

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < 0 - ((4 x + 2) \ln (3))$

Etapa 4.8

Subtraia $(4 x + 2) \ln (3)$ de $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - ((4 x + 2) \ln (3))$

Etapa 4.9

Remova os parênteses.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - (4 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.10

Resolva a desigualdade para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (27) - x \ln (3) + 1 \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.1.1.4

Multiplique $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (27) - x \ln (3) + \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + \ln (27 \cdot 3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.1.3

Multiplique $27$ por $3$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- (4 x) - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.2.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 2) \ln (3)$

Etapa 4.10.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \ln (3) + \ln (81) = - 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Etapa 4.10.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1

Simplifique $- 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.1.1

Simplifique $- 4 \ln (3)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (3^{4})) - 2 \ln (3)$

Etapa 4.10.3.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - 2 \ln (3)$

Etapa 4.10.3.1.1.3

Simplifique $- 2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (3^{2})$

Etapa 4.10.3.1.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (9)$

Etapa 4.10.3.1.2

Reordene os fatores em $x (- \ln (81)) - \ln (9)$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - x \ln (81) - \ln (9)$

Etapa 4.10.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- x \ln (3) + \ln (81) + x \ln (81) + \ln (9) = 0$

Etapa 4.10.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (81 \cdot 9) = 0$

Etapa 4.10.6

Multiplique $81$ por $9$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (729) = 0$

Etapa 4.10.7

Subtraia $\ln (729)$ dos dois lados da equação.

$- x \ln (3) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Etapa 4.10.8

Fatore $x$ de $- x \ln (3) + x \ln (81)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.8.1

Fatore $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Etapa 4.10.8.2

Fatore $x$ de $x \ln (81)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81)) = - \ln (729)$

Etapa 4.10.8.3

Fatore $x$ de $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Etapa 4.10.9

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Etapa 4.10.10

Divida cada termo em $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ por $- \ln (3) + \ln (81)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.10.1

Divida cada termo em $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ por $- \ln (3) + \ln (81)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Etapa 4.10.10.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.10.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln (3) + \ln (81)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Etapa 4.10.10.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Etapa 4.10.10.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.10.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Etapa 4.10.10.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Etapa 4.10.10.3.3

Fatore $- 1$ de $\ln (81)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) - 1 (- \ln (81))}$

Etapa 4.10.10.3.4

Fatore $- 1$ de $- \ln (3) - 1 (- \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- (\ln (3) - \ln (81))}$

Etapa 4.10.10.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.10.3.5.1

Reescreva $- (\ln (3) - \ln (81))$ como $- 1 (\ln (3) - \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- 1 (\ln (3) - \ln (81))}$

Etapa 4.10.10.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - - \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Etapa 4.10.10.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Etapa 4.10.10.3.5.4

Multiplique $\frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Etapa 5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)})$

Etapa 7