Álgebra Exemplos

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 22 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 8 \cdot 15 = 120$ e cuja soma é $b = - 22$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $- 22$ de $- 22 a$ .

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 22 (a) + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $- 22$ como $- 10$ mais $- 12$

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} + (- 10 - 12) a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 10 a - 12 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(8 a^{2} - 10 a) - 12 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{2 a (4 a - 5) - 3 (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 a - 5$ .

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{2 a - 1}{2 a - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 a - 5}{4 a - 5}$ .

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} \cdot \frac{4 a - 5}{4 a - 5} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 a - 3) (4 a - 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{2 a - 1}{2 a - 3}$ por $\frac{4 a - 5}{4 a - 5}$ .

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $(4 a - 5) (2 a - 3)$ .

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Expanda $(2 a - 1) (4 a - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 a (4 a - 5) - 1 (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 a (4 a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 a (4 a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 4 a \cdot a + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Mova $a$ .

$\frac{2 \cdot 4 (a \cdot a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{2 \cdot 4 a^{2} + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 a^{2} + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 4 a - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 4 a + 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $4 a$ de $- 10 a$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - (2 a^{2}) - (- 5 a) - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} - (- 5 a) - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} + 5 a - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} + 5 a - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.5

Subtraia $2 a^{2}$ de $8 a^{2}$ .

$\frac{6 a^{2} - 14 a + 5 + 5 a - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.6

Some $- 14 a$ e $5 a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 5 - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 5.7

Subtraia $4$ de $5$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Etapa 6

Para escrever $- \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 a - 3}{2 a - 3}$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5} \cdot \frac{2 a - 3}{2 a - 3}$

Etapa 7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 a - 3) (4 a - 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{3 a - 2}{4 a - 5}$ por $\frac{2 a - 3}{2 a - 3}$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{(3 a - 2) (2 a - 3)}{(4 a - 5) (2 a - 3)}$

Etapa 7.2

Reordene os fatores de $(4 a - 5) (2 a - 3)$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{(3 a - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - (3 a - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- (3 a) - - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- 3 a - - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- 3 a + 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.4

Expanda $(- 3 a + 2) (2 a - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a - 3) + 2 (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 9.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 a \cdot a - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.5.1.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 9.5.1.2.1

Mova $a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 (a \cdot a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.5.1.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 a^{2} - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.5.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.5.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.5.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 4 a + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.5.1.6

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 4 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.5.2

Some $9 a$ e $4 a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.6

Subtraia $6 a^{2}$ de $6 a^{2}$ .

$\frac{- 9 a + 1 + 0 + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.7

Some $- 9 a$ e $0$ .

$\frac{- 9 a + 1 + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.8

Some $- 9 a$ e $13 a$ .

$\frac{4 a + 1 - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 9.9

Subtraia $6$ de $1$ .

$\frac{4 a - 5}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $4 a - 5$ .

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 a - 5}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Etapa 10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 a - 3}$