Álgebra Exemplos

$\frac{x + 3}{x - 2} + 1 \leq 0$

Etapa 1

Simplifique $\frac{x + 3}{x - 2} + 1$ .

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Etapa 1.1

Combine em uma fração.

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Etapa 1.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x + 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} \leq 0$

Etapa 1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 3 + x - 2}{x - 2} \leq 0$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Some $x$ e $x$ .

$\frac{2 x + 3 - 2}{x - 2} \leq 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{2 x + 1}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = 2$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{x + 3}{x - 2} + 1$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x + 3}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{(- 3) + 3}{(- 3) - 2} + 1 \leq 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} + 1 \leq 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 0.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} + 1 \leq 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $4.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{1}{2} \leq x < 2$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \frac{1}{2} \leq x < 2$

Notação de intervalo:

$[- \frac{1}{2}, 2)$

Etapa 13