Álgebra Exemplos

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} \sec (θ)$

Etapa 1

Multiplique cada termo por um fator de $1$ , que vai equacionar todos os denominadores. Nesse caso, todos os termos precisam de um denominador de $2$ .

$\tan^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2

Multiplique a expressão por um fator de $1$ para criar o mínimo múltiplo comum (MMC) de $2$ .

$\tan^{2} (θ) \cdot 2$

Etapa 3

Mova $2$ para a esquerda de $\tan^{2} (θ)$ .

$\frac{2 \tan^{2} (θ)}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4

Multiplique a expressão por um fator de $1$ para criar o mínimo múltiplo comum (MMC) de $2$ .

$\sec (θ) \cdot 2$

Etapa 5

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (θ)$ .

$\frac{2 \tan^{2} (θ)}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sec (θ)}{2}$

Etapa 6

Substitua $\tan^{2} (θ)$ por $\sec^{2} (θ) - 1$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (θ) - 1) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7

Divida $2$ por $2$ .

$(\sec^{2} (θ) - 1) \cdot 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8

Multiplique $\sec^{2} (θ) - 1$ por $1$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 9

Substitua $u$ por $\sec (θ)$ .

${(u)}^{2} - 1 = \frac{3}{2} (u) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10

Simplifique $\frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.2

Simplifique somando os zeros.

$u^{2} - 1 = \frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.3

Combine $\frac{3}{2}$ e $u$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.4.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot 1$

Etapa 10.5

Multiplique $\frac{3 u}{2}$ por $1$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2}$

Etapa 11

Subtraia $\frac{3 u}{2}$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 1 - \frac{3 u}{2} = 0$

Etapa 12

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Etapa 12.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 u}{2}$ para o numerador.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Etapa 12.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Etapa 12.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 u^{2} - 2 - 3 u = 0$

Etapa 12.3

Mova $- 2$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Etapa 13

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 14

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.1.3

Some $9$ e $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.1.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Etapa 16

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 16.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 16.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.1.3

Some $9$ e $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.1.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Etapa 16.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = \frac{3 + 5}{4}$

Etapa 16.4

Some $3$ e $5$ .

$u = \frac{8}{4}$

Etapa 16.5

Divida $8$ por $4$ .

$u = 2$

Etapa 17

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 17.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.1.3

Some $9$ e $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.1.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Etapa 17.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = \frac{3 - 5}{4}$

Etapa 17.4

Subtraia $5$ de $3$ .

$u = \frac{- 2}{4}$

Etapa 17.5

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

Etapa 17.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.5.2.2

Cancele o fator comum.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.5.2.3

Reescreva a expressão.

$u = \frac{- 1}{2}$

Etapa 17.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{2}$

Etapa 18

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Etapa 19

Substitua $\sec (θ)$ por $u$ .

$\sec (θ) = 2, - \frac{1}{2}$

Etapa 20

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - \frac{1}{2}$

Etapa 21

Resolva $θ$ em $\sec (θ) = 2$ .

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Etapa 21.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da secante.

$θ = arcsec (2)$

Etapa 21.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 21.2.1

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 21.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 21.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 21.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 21.4.2

Combine frações.

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Etapa 21.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 21.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 21.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 21.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 21.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Etapa 21.5

Encontre o período de $\sec (θ)$ .

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Etapa 21.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 21.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 21.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 21.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 21.6

O período da função $\sec (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 22

Resolva $θ$ em $\sec (θ) = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 22.1

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $- \frac{1}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 23

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$