Álgebra Exemplos

${(x + 3)}^{2} \geq 2 (x^{2} + 7)$

Etapa 1

Simplifique $2 (x^{2} + 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(x + 3)}^{2} \geq 2 x^{2} + 2 \cdot 7$

Etapa 1.2

Multiplique $2$ por $7$ .

${(x + 3)}^{2} \geq 2 x^{2} + 14$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

${(x + 3)}^{2} - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.2.2

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.2.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.2.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.2.3.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 2 x^{2} \geq 14$

Etapa 2.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 \geq 14$

Etapa 3

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} + 6 x + 9 = 14$

Etapa 4

Subtraia $14$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} + 6 x + 9 - 14 = 0$

Etapa 5

Subtraia $14$ de $9$ .

$- x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Etapa 6

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 6 x - 5 = 0$

Etapa 6.1.2

Fatore $- 1$ de $6 x$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 5 = 0$

Etapa 6.1.3

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Etapa 6.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$- (x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Etapa 6.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 6 x) - 1 (5)$ .

$- (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Etapa 6.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 5$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 5, - 1$

Etapa 6.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Etapa 6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 5) (x - 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 8

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 8.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 9

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 5) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 1$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${((0) + 3)}^{2} \geq 2 ({(0)}^{2} + 7)$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $9$ é menor do que o lado direito $14$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $1 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

${((3) + 3)}^{2} \geq 2 ({(3)}^{2} + 7)$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $36$ é maior do que o lado direito $32$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

${((8) + 3)}^{2} \geq 2 ({(8)}^{2} + 7)$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $121$ é menor do que o lado direito $142$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$1 \leq x \leq 5$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$1 \leq x \leq 5$

Notação de intervalo:

$[1, 5]$

Etapa 15