Álgebra Exemplos

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Etapa 1

Reescreva $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ)$ como a diferença dos quadrados.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} - \cos^{2} (θ)$

Etapa 2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sqrt{\cos (θ)}$ e $b = \cos (θ)$ .

$(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ))$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

$\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ) = 0$

Etapa 4

Defina $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ como igual a $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $\cos (θ)$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{\cos (θ)} = - \cos (θ)$

Etapa 4.2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\cos (θ)}$ como ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Etapa 4.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.3.2.1

Simplifique ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Etapa 4.2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Etapa 4.2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\cos^{1} (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Etapa 4.2.3.2.1.2

Simplifique.

$\cos (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.3.1

Simplifique ${(- \cos (θ))}^{2}$ .

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Etapa 4.2.3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (θ)$

Etapa 4.2.3.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\cos (θ) = 1 \cos^{2} (θ)$

Etapa 4.2.3.3.1.3

Multiplique $\cos^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \cos^{2} (θ)$

Etapa 4.2.4

Resolva $\cos (θ)$ .

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Etapa 4.2.4.1

Subtraia $\cos^{2} (θ)$ dos dois lados da equação.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Etapa 4.2.4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.4.2.1

Deixe $u = \cos (θ)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (θ)$ .

$u - u^{2} = 0$

Etapa 4.2.4.2.2

Fatore $u$ de $u - u^{2}$ .

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Etapa 4.2.4.2.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Etapa 4.2.4.2.2.2

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Etapa 4.2.4.2.2.3

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Etapa 4.2.4.2.2.4

Fatore $u$ de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Etapa 4.2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Etapa 4.2.4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Etapa 4.2.4.4

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Etapa 4.2.4.5

Defina $1 - \cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $\cos (θ)$ .

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Etapa 4.2.4.5.1

Defina $1 - \cos (θ)$ como igual a $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Etapa 4.2.4.5.2

Resolva $1 - \cos (θ) = 0$ para $\cos (θ)$ .

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Etapa 4.2.4.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \cos (θ) = - 1$

Etapa 4.2.4.5.2.2

Divida cada termo em $- \cos (θ) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.2.4.5.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos (θ) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.4.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.4.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.4.5.2.2.2.2

Divida $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.4.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.5.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Etapa 4.2.4.6

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ verdadeiro.

$\cos (θ) = 0, 1$

Etapa 4.2.5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) = 1$

Etapa 4.2.6

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = 0$ .

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Etapa 4.2.6.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (0)$

Etapa 4.2.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.6.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.2.6.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.6.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.6.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.6.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.6.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 4.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.7

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = 1$ .

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Etapa 4.2.7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (1)$

Etapa 4.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.7.2.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 4.2.7.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - 0$

Etapa 4.2.7.4

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Etapa 4.2.7.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 4.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.7.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.8

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.9

Consolide as soluções.

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Etapa 4.2.9.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.9.2

Consolide $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ em $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ)) = 0$ verdadeiro.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$