Álgebra Exemplos

$(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4$

Etapa 1

Divida cada termo em $(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4$ por $x + 4$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4$ por $x + 4$ .

$\frac{(x + 4) (a x^{2} + b x + c)}{x + 4} = \frac{2 x^{3}}{x + 4} + \frac{9 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) (a x^{2} + b x + c)}{x + 4} = \frac{2 x^{3}}{x + 4} + \frac{9 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $a x^{2} + b x + c$ por $1$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{2 x^{3}}{x + 4} + \frac{9 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a x^{2} + b x + c = \frac{2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$

Etapa 2

Mova todos os termos que não contêm $a$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $b x$ dos dois lados da equação.

$a x^{2} + c = \frac{2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4} - b x$

Etapa 2.2

Subtraia $c$ dos dois lados da equação.

$a x^{2} = \frac{2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Divida a fração $\frac{2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$ em duas frações.

$a x^{2} = \frac{2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 2.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$a x^{2} = \frac{x (2 x^{2}) + 9 x^{2} + 3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 2.3.2.1.2

Fatore $x$ de $9 x^{2}$ .

$a x^{2} = \frac{x (2 x^{2}) + x (9 x) + 3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 2.3.2.1.3

Fatore $x$ de $3 x$ .

$a x^{2} = \frac{x (2 x^{2}) + x (9 x) + x \cdot 3}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 2.3.2.1.4

Fatore $x$ de $x (2 x^{2}) + x (9 x)$ .

$a x^{2} = \frac{x (2 x^{2} + 9 x) + x \cdot 3}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 2.3.2.1.5

Fatore $x$ de $x (2 x^{2} + 9 x) + x \cdot 3$ .

$a x^{2} = \frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3)}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 2.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a x^{2} = \frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$

Etapa 3

Divida cada termo em $a x^{2} = \frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $a x^{2} = \frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$ por $x^{2}$ .

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 9 x + 3) - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{\frac{x (2 x^{2}) + x (9 x) + x \cdot 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{\frac{2 x \cdot x^{2} + x (9 x) + x \cdot 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{\frac{2 x \cdot x^{2} + 9 x \cdot x + x \cdot 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$a = \frac{\frac{2 x \cdot x^{2} + 9 x \cdot x + 3 \cdot x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$a = \frac{\frac{2 (x^{2} x) + 9 x \cdot x + 3 \cdot x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.2.1.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$a = \frac{\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 9 x \cdot x + 3 \cdot x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a = \frac{\frac{2 x^{2 + 1} + 9 x \cdot x + 3 \cdot x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$a = \frac{\frac{2 x^{3} + 9 x \cdot x + 3 \cdot x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.3.2.1

Mova $x$ .

$a = \frac{\frac{2 x^{3} + 9 (x \cdot x) + 3 \cdot x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$a = \frac{\frac{2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 \cdot x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

$a = \frac{\frac{2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva $2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.3.2.1.4.1

Fatore $2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.3.2.1.4.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 3.3.2.1.4.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.3.2.1.4.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 2 + 9 + 3 \cdot - 1 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3.6

Some $- 2$ e $9$ .

$7 + 3 \cdot - 1 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$7 - 3 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3.8

Subtraia $3$ de $7$ .

$4 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.3.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 3.3.2.1.4.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4}{x + 1}$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5

Divida $2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4$ por $x + 1$ .

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Etapa 3.3.2.1.4.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x$

$4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x^{2} + 7 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$4 x$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$4 x$	-	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$4 x$	-	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x - 4$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	+	$4$
										$0$

Etapa 3.3.2.1.4.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + 7 x - 4$

Etapa 3.3.2.1.4.1.6

Escreva $2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$a = \frac{\frac{(x + 1) (2 x^{2} + 7 x - 4)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.2.1.4.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 3.3.2.1.4.2.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$a = \frac{\frac{(x + 1) (2 x^{2} + 7 (x) - 4)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.1.2

Reescreva $7$ como $- 1$ mais $8$

$a = \frac{\frac{(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{\frac{(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1.4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$a = \frac{\frac{(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$a = \frac{\frac{(x + 1) (x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1))}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$a = \frac{\frac{(x + 1) ((2 x - 1) (x + 4))}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

$a = \frac{\frac{(x + 1) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$a = \frac{\frac{(x + 1) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.2.2

Divida $(x + 1) (2 x - 1)$ por $1$ .

$a = \frac{(x + 1) (2 x - 1) - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.3

Expanda $(x + 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.4.1.2.1

Mova $x$ .

$a = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$a = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.4.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$a = \frac{2 x^{2} - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.4.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$a = \frac{2 x^{2} - x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.4.1.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$a = \frac{2 x^{2} - x + 2 x + 1 \cdot - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a = \frac{2 x^{2} - x + 2 x - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.4.2

Some $- x$ e $2 x$ .

$a = \frac{2 x^{2} + x - 1 - b x - c}{x^{2}}$