Álgebra Exemplos

$2^{2 x} - 2^{x + 1} - 8 = 0$

Etapa 1

Reescreva $2^{x + 1}$ como $2^{x} \cdot 2^{1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

Etapa 2

Reescreva $2^{2 x}$ como exponenciação.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

Etapa 3

Remova os parênteses.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 2 - 8 = 0$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Etapa 6

Resolva $u$ .

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Etapa 6.1

Fatore $u^{2} - 2 u - 8$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 6.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 6.3

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 6.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 6.4

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 6.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 4) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 4, - 2$

Etapa 7

Substitua $4$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Etapa 8

Resolva $4 = 2^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Etapa 8.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{2}$

Etapa 8.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 2$

Etapa 9

Substitua $- 2$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$- 2 = 2^{x}$

Etapa 10

Resolva $- 2 = 2^{x}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $2^{x} = - 2$ .

$2^{x} = - 2$

Etapa 10.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Etapa 10.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 2)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 10.4

Não há uma solução para $2^{x} = - 2$

Nenhuma solução

Etapa 11

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = 2$