Álgebra Exemplos

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{9 - x^{2}}$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$x + 3 > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique ${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x + 3 > {\sqrt{3^{2} - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x$ .

$x + 3 > {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ como $(3 + x) (3 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ como ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 3 > {({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{1}$

Etapa 2.3.1.3.5

Simplifique.

$x + 3 > (3 + x) (3 - x)$

Etapa 2.3.1.4

Expanda $(3 + x) (3 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 3 > 3 (3 - x) + x (3 - x)$

Etapa 2.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)$

Etapa 2.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$x + 3 > 9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Etapa 2.3.1.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)$

Etapa 2.3.1.5.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)$

Etapa 2.3.1.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x \cdot x$

Etapa 2.3.1.5.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1.5.1

Mova $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)$

Etapa 2.3.1.5.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x^{2}$

Etapa 2.3.1.5.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$x + 3 > 9 + 0 - x^{2}$

Etapa 2.3.1.5.3

Some $9$ e $0$ .

$x + 3 > 9 - x^{2}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da desigualdade.

$x + 3 + x^{2} > 9$

Etapa 3.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x + 3 + x^{2} = 9$

Etapa 3.3

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x + 3 + x^{2} - 9 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $9$ de $3$ .

$x + x^{2} - 6 = 0$

Etapa 3.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$u + u^{2} - 6 = 0$

Etapa 3.5.2

Fatore $u + u^{2} - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 3.5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3.7

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.8

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.8.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 3$

Etapa 4

Encontre o domínio de $\sqrt{x + 3} - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

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Etapa 4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 3 \geq 0$

Etapa 4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 3$

Etapa 4.3

Defina o radicando em $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Etapa 4.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Etapa 4.4.2

Defina $3 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Defina $3 + x$ como igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Etapa 4.4.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4.4.3

Defina $3 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Defina $3 - x$ como igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Etapa 4.4.3.2

Resolva $3 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 4.4.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.4.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.4.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.4.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 4.4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3$

Etapa 4.4.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 4.4.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 4.4.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Etapa 4.4.6.1.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.4.6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.4.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Etapa 4.4.6.2.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.4.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 4.4.6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Etapa 4.4.6.3.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.4.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 4.4.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 \leq x \leq 3$

Etapa 4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 3, 3]$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{9 - {(- 6)}^{2}}$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $1.7320508$ não é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.5$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $2.5$ na desigualdade original.

$\sqrt{(2.5) + 3} > \sqrt{9 - {(2.5)}^{2}}$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $2.34520787$ é maior do que o lado direito $1.65831239$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 6.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{9 - {(6)}^{2}}$

Etapa 6.4.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 3$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$2 < x < 3$

Notação de intervalo:

$(2, 3)$

Etapa 9