Álgebra Exemplos

$\tan^{2} (θ) = - \frac{3}{2} \sec (θ)$

Etapa 1

Substitua $\tan^{2} (θ)$ por $\sec^{2} (θ) - 1$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = - \frac{3}{2} \cdot \sec (θ)$

Etapa 2

Substitua $u$ por $\sec (θ)$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{3}{2} u$

Etapa 3

Simplifique $- \frac{3}{2} u$ .

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Etapa 3.1

Reescreva.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{2} u$

Etapa 3.2

Simplifique somando os zeros.

$u^{2} - 1 = - \frac{3}{2} u$

Etapa 3.3

Combine $u$ e $\frac{3}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 3}{2}$

Etapa 3.4

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{3 u}{2}$

Etapa 4

Some $\frac{3 u}{2}$ aos dois lados da equação.

$u^{2} - 1 + \frac{3 u}{2} = 0$

Etapa 5

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Etapa 5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2 u^{2} - 2 + 3 u = 0$

Etapa 5.3

Mova $- 2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Etapa 6

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 3$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.1.3

Some $9$ e $16$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.1.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm 5}{4}$

Etapa 9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 10

Substitua $\sec (θ)$ por $u$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 11

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - 2$

Etapa 12

Resolva $θ$ em $\sec (θ) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 12.1

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $\frac{1}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 13

Resolva $θ$ em $\sec (θ) = - 2$ .

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Etapa 13.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da secante.

$θ = arcsec (- 2)$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $arcsec (- 2)$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 13.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 13.4

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 13.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 13.4.2

Combine frações.

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Etapa 13.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 13.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 13.4.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\sec (θ)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\sec (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$