Álgebra Exemplos

$\sqrt{x^{2} - x - 2} < \sqrt{x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x^{2} - x - 2}}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - x - 2}$ como ${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} - x - 2)}^{1} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique ${\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $x^{2} + 3 x + 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2$

Etapa 2.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$ como $(x + 1) (x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ como ${((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x - 2 < {({((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{1}$

Etapa 2.3.1.2.5

Simplifique.

$x^{2} - x - 2 < (x + 1) (x + 2)$

Etapa 2.3.1.3

Expanda $(x + 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - x - 2 < x (x + 2) + 1 (x + 2)$

Etapa 2.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)$

Etapa 2.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 2$

Etapa 2.3.1.4.2

Some $2 x$ e $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 3 x + 2$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} < 3 x + 2$

Etapa 3.1.2

Subtraia $3 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x < 2$

Etapa 3.1.3

Combine os termos opostos em $x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x - 2 + 0 - 3 x < 2$

Etapa 3.1.3.2

Some $- x - 2$ e $0$ .

$- x - 2 - 3 x < 2$

Etapa 3.1.4

Subtraia $3 x$ de $- x$ .

$- 4 x - 2 < 2$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $2$ aos dois lados da desigualdade.

$- 4 x < 2 + 2$

Etapa 3.2.2

Some $2$ e $2$ .

$- 4 x < 4$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 4 x < 4$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 4 x < 4$ por $- 4$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{4}{- 4}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida $4$ por $- 4$ .

$x > - 1$

Etapa 4

Encontre o domínio de $\sqrt{(x - 2) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ .

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Etapa 4.1

Defina o radicando em $\sqrt{(x - 2) (x + 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x - 2) (x + 1) \geq 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 1) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Etapa 4.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 4.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) - 2) ((- 4) + 1) \geq 0$

Etapa 4.2.6.1.3

O lado esquerdo $18$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) - 2) ((0) + 1) \geq 0$

Etapa 4.2.6.2.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.2.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) - 2) ((4) + 1) \geq 0$

Etapa 4.2.6.3.3

O lado esquerdo $10$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 4.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 2$

Etapa 4.3

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 1) (x + 2) \geq 0$

Etapa 4.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4.4.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.4.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.4.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 2) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 2$

Etapa 4.4.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$x > - 1$

Etapa 4.4.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.4.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Etapa 4.4.6.1.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.4.6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1.5$

Etapa 4.4.6.2.2

Substitua $x$ por $- 1.5$ na desigualdade original.

$((- 1.5) + 1) ((- 1.5) + 2) \geq 0$

Etapa 4.4.6.2.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.4.6.3

Teste um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.4.6.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Etapa 4.4.6.3.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.4.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadeiro

Etapa 4.4.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 2$ ou $x \geq - 1$

Etapa 4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2] \cup [- 1, - 1] \cup [2, \infty)$

Etapa 5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > 2$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x > 2$

Notação de intervalo:

$(2, \infty)$

Etapa 7