Álgebra Exemplos

$6 > z (10 - z)$

Etapa 1

Reescreva de forma que $z$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$z (10 - z) < 6$

Etapa 2

Simplifique $z (10 - z)$ .

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Etapa 2.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$z \cdot 10 + z (- z) < 6$

Etapa 2.1.2

Reordene.

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Etapa 2.1.2.1

Mova $10$ para a esquerda de $z$ .

$10 \cdot z + z (- z) < 6$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$10 \cdot z - z \cdot z < 6$

Etapa 2.2

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Mova $z$ .

$10 z - (z \cdot z) < 6$

Etapa 2.2.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$10 z - z^{2} < 6$

Etapa 3

Subtraia $6$ dos dois lados da desigualdade.

$10 z - z^{2} - 6 < 0$

Etapa 4

Converta a desigualdade em uma equação.

$10 z - z^{2} - 6 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = 10$ e $c = - 6$ na fórmula quadrática e resolva $z$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 6)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 6}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 6$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 6}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 6$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 24}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $24$ de $100$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 7.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$z = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$z = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 2}$ .

$z = 5 \pm \sqrt{19}$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$z = 5 + \sqrt{19}, 5 - \sqrt{19}$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$z < 5 - \sqrt{19}$

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$

$z > 5 + \sqrt{19}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $z < 5 - \sqrt{19}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $z < 5 - \sqrt{19}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$z = 0$

Etapa 10.1.2

Substitua $z$ por $0$ na desigualdade original.

$6 > (0) (10 - (0))$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$z = 5$

Etapa 10.2.2

Substitua $z$ por $5$ na desigualdade original.

$6 > (5) (10 - (5))$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $6$ não é maior do que o lado direito $25$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $z > 5 + \sqrt{19}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $z > 5 + \sqrt{19}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$z = 12$

Etapa 10.3.2

Substitua $z$ por $12$ na desigualdade original.

$6 > (12) (10 - (12))$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $- 24$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$z < 5 - \sqrt{19}$ Verdadeiro

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ Falso

$z > 5 + \sqrt{19}$ Verdadeiro

$z < 5 - \sqrt{19}$ Verdadeiro

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ Falso

$z > 5 + \sqrt{19}$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$z < 5 - \sqrt{19}$ ou $z > 5 + \sqrt{19}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$z < 5 - \sqrt{19} or z > 5 + \sqrt{19}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 5 - \sqrt{19}) \cup (5 + \sqrt{19}, \infty)$

Etapa 13