Álgebra Exemplos

$\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2) = 1$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Simplifique $\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2)$ .

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Etapa 2.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1.1

Simplifique $- 3 \log_{3} (2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (x) - \log_{3} (2^{3}) = 1$

Etapa 2.1.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\log_{3} (x) - \log_{3} (8) = 1$

Etapa 2.1.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x}{8}) = 1$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{3} (\frac{x}{8}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x}{8}$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $\frac{x}{8} = 3^{1}$ .

$\frac{x}{8} = 3$

Etapa 2.3.2

Multiplique os dois lados da equação por $8$ .

$8 \frac{x}{8} = 8 \cdot 3^{1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$8 \frac{x}{8} = 8 \cdot 3^{1}$

Etapa 2.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 8 \cdot 3^{1}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.2.1

Simplifique $8 \cdot 3^{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1.1

Avalie o expoente.

$x = 8 \cdot 3$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$x = 24$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{3} (\frac{x}{8}) - 1$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log_{3} (\frac{x}{8})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x}{8} > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique os dois lados por $8$ .

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x > 0 \cdot 8$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.2.1

Multiplique $0$ por $8$ .

$x > 0$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 24$

$x > 24$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\log_{3} (- 2) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 24$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 24$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\log_{3} (2) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $- 1.2618595$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $x > 24$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 24$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 26$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $26$ na desigualdade original.

$\log_{3} (26) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $1.07285801$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 24$ Verdadeiro

$x > 24$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 24$ Verdadeiro

$x > 24$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x \leq 24$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x \leq 24$

Notação de intervalo:

$(0, 24]$

Etapa 8