Álgebra Exemplos

$f (x) = 2 {(x)}^{2} + 5 \sqrt{x + 2}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x^{2} d x + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x^{2} d x + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Etapa 5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int \sqrt{x + 2} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 6.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int \sqrt{u} d u$

Etapa 7

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + 5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2.2

Combine $5$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 11

A função $F$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$F (x) = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$